Как играть это на фортепиано?

Это "линия смысла". В определенных музыкальных стилях, среди всех присутствующих в воздухе звуков имеется одна ведущая линия, которая несет основной СМЫСЛ произведения. Она называется "мелодией", и обычно поручается вокалисту или солирующему инструменту. Чаще всего мелодия находится выше всех других звуков сопровождения, но это не закон. Мелодия иногда может забираться и вниз, и внутрь толщи музыкальной ткани. Здесь именно этот случай.
Пока мелодия находится наверху, она естественным образом слышна лучше всего остального содержания музыки. Собственно, ради этого ее и помещают наверху. И даже при этом, когда исполняешь музыку, то мелодии ты должен уделять особенное внимание, вести ее более плотным прикосновением, фразировать, обеспечивать ей "дыхание", и прочие заботы - в то время, как аккомпанемент исполняется менее плотно. Фортепиано - это аналог оркестра, и пианисту приходится "думать" сразу за нескольких музыкантов одновременно :-) Но если мелодия вдруг ввинчивается куда-то в середину фактуры, а то и в самые нижние ее слои - то акустически она становится МЕНЕЕ слышна, и слушатель рискует ее просто потерять из вида. Поэтому в такие моменты пианист должен выделять мелодию динамикой, ЕЩЕ плотнее прижимать клавиши именно для нее.
Так вот, эти линии указывают тебе, где находится сейчас ведущий голос, и какие именно звуки нужно связывать в единую смысловую линию. В принципе, не нужно много ума, чтобы и без таких подсказок отследить поведение мелодии самому, но тут автор просто из доброты душевной тебе помогает :-)

Так показывают, когда мелодическая линия переходит из одной руки в другую

Это своего рода перенос исполнения с одной руки на другую.
В некоторых этюдах Ф. Листа например такое встречается нередко.