Как появляется радуга и туман?

Туман образуется, когда влажный воздух охлаждается. При этом избыток влаги, всегда содержащейся в воздухе, конденсируется в виде тумана и росы.
Радуга образуется, когда на дождевые капли, падающие из облака, попадает солнечный свет. При этом лучше, чтоб солнце находилось не очень высоко над горизонтом. Каждая капля отражает этот свет ОБРАТНО (под углом примерно 130 градусов) , причём поскольку каждая капелька дождя - это сфера, то отражение от каждой капли идёт конусом, ось которого направлена строгол на солнце. А значит, мы видим отражённый от капль свет только тогда, когда угол зрения на каплю составляет с направлением ОТ солнца 40 градусов, причём всё равно куда. Поэтому радуга и выглядит как дуга окружности. Ну а из-за того, что угол отражения немного разный для лучей разной длины волны, этот угловой радиу получается тоже немного разным, и мы в итоге видим окрашенную в разные цвета полоску.
Сколько там цветов - отдельный вопрос. Их, разумеется, не семь (это чисто особенность русского фольклора, а вовсе не характеристика самой радуги; в английсокм языке радуга состоит из шести цветов, хотя законы физики там ровно те же...) . Там виден сплошной спектр с плавным переходом, и где именно делать границы между отдельными цветами - вопрос чисто индивидуального подхода.

Если голова крепко встретится с твёрдым предметом, то в глазах сначала появляется радуга, а потом туман.

РАДУГА возникает из-за того, что СОЛНЕЧНЫЙ СВЕТ ИСПЫТЫВАЕТ ПРЕЛОМЛЕНИЕ В КАПЕЛЬКАХ ВОДЫ (дождь или туман) , ПАРЯЩИХ В ВОЗДУХЕ. Эти капельки по-разному отклоняют свет разных цветов (красный свет отклоняется на 137°30’, фиолетовый на 139°20’), в результате чего белый свет разлагается в спектр.
ТУМАН же - ФОРМА КОНДЕНСАЦИИ ПАРОВ ВОДЫ В ВИДЕ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ КАПЕЛЬ или ЛЕДЯНЫХ КРИСТАЛЛОВ, которые, собираясь в приземном слое атмосферы (иногда до нескольких сотен метров) , делают воздух менее прозрачным.

радуга появляется из-за преломления светы в капельках воды

радуга образуется за счёт света попадающего на маленькие капли воды которые разбивают жёлтый свет на 7 состовляющих цветов