Что нового вносит специальная теория относительности в прежний принцип относительности классической механики?

Особый взгляд на природу! Свет сделал своё "тёмное" дело.
Если все другие скорости изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой, то скорость света в вакууме - величина инвариантная, т. е. неизменная.
Фундаментальное свойство природы - постоянство скорости света!

Максим Овчинников ПОЧТИ прав - но перепутал СТО и ОТО.
Ответ на Ваш вопрос должен выглядеть так:
"По сравнению с принципом относительности Галилея ("При одинаковых начальных условиях в любых инерциальных системах отсчета все МЕХАНИЧЕСКИЕ процессы будут происходить одинаково") принцип относительности в СТО выглядит так: "При одинаковых начальных условиях в любых инерциальных системах отсчета ВСЕ процессы и законы природы будут происходить одинаково".

То есть принцип относительности Эйнштейна РАСПРОСТРАНЯЕТ принцип оносительности Галилея с ТОЛЬКО механики на ВСЕ законы природы (в первую очередь на ЭЛЕКТРОДИНАМИКУ) .
Напомню, что в классической ЭФИРНОЙ электродинамике принцип относительности не выполняется, поскольку важно, как движется система отсчёта ОТНОСИТЕЛЬНО ЭФИРА.

Топологию Минковского со странной и псевдоевклидовой метрикой, преобразования Лоренца, абсолютность скорости света.
Впрочем, это взаимосвязанные вещи. Проще всего оказалось эти вещи выразить всё-таки в виде постулата о постоянстве скорости света, а всё остальное естественным образом вытекает из этого

Принцип относительности состоит из двух частей

1) Утверждение о том, что все законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта;

2) Некие математические выражения, которые показывают, как изменяются координаты и время при переходе из одной системы отсчёта в другую.

В классической физике эти выражения носят названия «преобразования Галилея» и выглядят так:

t' = t;
x' = x – vt,

где x, t и x', t' – координата и время в первой и второй системах отсчёта соответственно;
v – скорость движения второй системы относительно первой.

Т. е. в классической механике время одинаково во всех системах отсчёта, а координата линейно изменяется со временем по мере того, как одна система перемещается относительно другой.

В релятивистской механике эти выражения носят название «преобразования Лоренца» и выглядят так:

t' = (t – vx/c²)/√(1 – v²/c²)
x' = (x – vt)/√(1 – v²/c²)

Собственно, все различия между классической и релятивистской механикой заключаются в этих двух выражениях. Вся остальная экзотика (замедление времени, сокращение расстояний, увеличение массы со скоростью, парадокс близнецов, инвариантность скорости света, относительность одновременности) является следствием этих двух формул.

По сравнению с принципом относительности Галилея ("При одинаковых начальных условиях в ОДИНАКОВЫХ инерциальных системах отсчета все процессы будут происходить одинаково") принцип относительности в СТО выглядит так: "При одинаковых начальных условиях в ЛЮБЫХ инерциальных системах отсчета все процессы будут происходить одинаково".

Принцип относительности в теории относительности распространяется на все законы природы, а не только механики. И постоянство скорости света

Если не верить грызущим учебники безмозглым ботанам, а раскрыть глаза и пораскинуть немного собственными мозгами, то можно увидеть, что специальная теория относительности ничего нового не добавила в прежний принцип относительности классической механики, а только все изрядно напутала и усложнила, создав видимость нового мировозрения. Пресловутое РАСШИРЕНИЕ принципа Галилея на электродинамику совершенно излишне! Из принципа Галилея и так вытекает, что все законы физики должны быть одинаковы во всех инерциальных системах отсчета (ИСО) . А то неровен час, появится еще один патентовед, который вздумает раширить принцип относительности Галилея на термодинамику, атомную физику или химию и совершит в умах еще одну научную "революцию".
Иезуитство Теории относительности заключается в том, что она только на словах декларирует одинаковость законов физики для всех ИСО, а на деле она всю физику (пространство, время, массу, длину и т. д. ) поставила в зависимость от наблюдателя.