Как меняется архимедова сила с глубиной?

Смотря что за тело и во что погружено.
Формула для Архимедовой силы, как уже сказал Вадим Терентьев: F=pVg, где р- плотность среды, V - объём тела и g - ускорение свободного падения. Напрямую тут глубина не присутствует, но она влияет на давление, которое может влиять и на плотность, и на объём тела.
Тут говорили про воду, да, она почти не сжимаема, но ведь архимедова сила действует не только в воде, но и в воздухе, а он очень даже сжимаем. Вспомните как выглядят стратостаты: на старте - скомканная груша, зато на высоте километров 10 он уже красывенький шарик. А всё потому, что плотность воздуха (и давление) там меньше и потому, чтобы не терял подъёмную силу, ему дали резерв для "самораздувания" от внутреннего давления.

Никак не меняется. Вода несжимаема.

Никак! ! В формуле закона Архимеда нет зависимости от глубины погружения.

Возрастает прямо пропорционально глубине

Fa=pVg
Пока тело не полностью погружено, архимедова сила возрастает, После погружения она от глубины не зависит.

С глубиной будет меняться только давление на площадь погружённого тела, а не выталкивающая сила

Тут все почти правы. В законе Архимеда нет зависимости от глубины.
Но вода тем не менее все-таки вполне сжимаемая жидкость. Так что с глубиной её плотность возрастает. А значит и разница плотностей так же возрастет и соответственно сила выталкивания тоже.

Архимед и не догадывался, что его формула ограничена и не даёт ответа на простой опыт. Сила давления на 1 см в квадрате, на глубине допустим 130 метров уже составляет 13кг, а это означает, что на тело действует выталкивающая сила такая же как если бы тело было погружено в ртуть. И учёным всего мира по барабану, что формула Архимеда уже в современных школах не годна.