Архимедова сила на разных глубинах одинакова или нет и почему?

Позвольте и мои три копеечки внести: с 1976 года в подводной технике, для меня закон Архимеда - как ПДД для водителя такси.
1. Резиновый шарик в вакууме не обязательно лопнет. Это зависит от его прочности. Во всяком случае, избыточное давление в автошинах обычно больше 1 атм, и они не лопаются. В вакууме перепад давления будет аккурат 1 атм. Тонкостенный воздушный шарик, скорее всего, лопнет, футбольный мяч, скорее всего, нет.
2. Максимальная разница в плотности морской воды на поверхности и у дна (с учетом всех факторов - сжимаемости, разной солености и температуры) лежит в пределах 1,0 - 1,5% (если не брать особых рассольных зон на дне).
3. Нестабильный котоний абсолютно прав в том, что причина возникновения Архимедовой силы - разница в давлениях на тело сверху и снизу. Закон Паскаля был сформулирован без малого через 2 тысячи лет после закона Архимеда, но только он (вкупе с основным уравнением гидростатики P = pgH) объяснил природу Архимедовой силы, а открытое еще полвека спустя интегрирование позволило обосновать ее математически.
Давление действует на тело со всех сторон перпендикулярно к поверхности, но давление, действующее снизу вверх, всегда больше давления, действующего сверху вниз, так как глубина Н внизу больше. Интегрируя элементарные силы, действующие на убывающе малые части поверхности, получим в итоге формулу Архимедовой силы
F= pgV.
Считая в первом приближении плотность воды р по глубине неизменной, можно говорить о том, что сила, выталкивающая монолитное тело с глубиной не меняется.
4. Не монолитные тела, имеющие внутреннюю полость (или полости), под действием давления сжимаются. Если не брать в расчет разницу температур, можно считать уменьшение объема пропорциональным увеличению давления (закон Бойля - Мариотта). На глубине 10 метров объем воздуха в мяче уменьшится в 2 раза, на 20 метрах - в 3 и так далее. На некоторой глубине этот объем станет пренебрежимо малым, и останется только объем материала, из которого сделан мяч.
Стальные сферы подводных аппаратов тоже сжимаются на глубине. Если не ошибаюсь, двухметровая в диаметре стальная сфера "Мира" толщиной 40 мм на максимальной глубине (6000 м) сжалась на 20 мм (привожу величину со слов товарищей по памяти, сам не измерял).
5. При реальном погружении на большую глубину (несколько км) увеличение плотности воды (на упомянутые 1 - 1,5%) действует на повышение Архимедовой силы, а сжатие корпуса - на ее уменьшение. Результат может отличаться от начального значения в ту или другую сторону на разной глубине.

Вот, как-то так...

При прочих равных условиях - возрастает с глубиной. Но очень медленно.
И для этого нужно, чтобы погружающееся тело совершенно не сжималось (не теряло в объеме). С глубиной, при высоком давлении, вода немножко увеличивает плотность, сжимается - слабо, не больше, чем монолитная сталь, но все-таки сжимается. Если подопытное тело ПРОЧНЕЕ монолитной стали, тогда для него архимедова сила будет возрастать с глубиной.

Если футбольный мяч каким-то чудом будет сохранять на разных глубинах ОДИНАКОВЫЙ объём, то и сила Архимеда будет сохраняться (возьмем для простоты несжимаемую воду). Но футбольный мяч с увеличением давления будет уменьшать свой объем и вместе с ним - силу Архимеда.

Важно не давление, а его разность над и под мячом. Сила, толкающая мяч вверх, растёт, но растёт и сила, толкающая мяч вниз. То есть В ИДЕАЛЕ сила не меняется. ПО ФАКТУ плотность в естественных водоёмах меняется из-за температуры, состава и т.д.. И потом, даже если считать жидкость несжимаемой, мяч очень даже сжимаемый, что влияет на его плотность, так что ПО ФАКТУ сила меняется.

Сила везде одинаковая. Играет роль при выталкиваниии различная плотность вещества.
Меньшая плотность всегда будет выталкиваться веществом с бОльшей.

В твоем вопросе уже есть ответ.

"Формула, по которой рассчитывается эта сила, включает плотность жидкости (воды). Жидкости практически несжимаемы. Значит плотность воды (кг/дм.куб) на разных глубинах одинакова."

А вот объект, опущенный в воду, вполне сжимаем. Те же подводные лодки довольно заметно сжимаются, аж трещат.

И архимедова сила, действующая на них, будет _меньше_ за счет уменьшения объема объекта, а значит - и вытесняемой им воды

Градиент давления увеличивается с глубиной, т.к. произведение плотности воды на ускорение свободного падения растет (по модулю).
В Марианском желобе арзимедова сиала значительно больше, чем у поверзности, на проценты больше!!!

Но это - покуда твой футбольный мячик несжимаемый. А он прекрасно сжимается по Клапейрону-Менделееву, делает он это намного лучше воды. Похтому выиалк ваюшая сила, дейчивующая на мячик, шустренько уменьшается, на глубине в пару сотен метров он размером со снежок будет.

Разная, чем глубже тем сильней, подлодки даже давит

Разница в давлении на разных глубинах действительно существует, но она не оказывает влияние на величину архимедовой силы. Причина в том, что архимедова сила зависит только от объема вытесненной жидкости и плотности этой жидкости. Давление жидкости на объект действует с одинаковой силой со всех сторон, в том числе и сверху и снизу, и суммируется внутри объекта, не влияя на архимедову силу. Поэтому на разных глубинах архимедова сила остается одинаковой при неизменной плотности жидкости и объеме вытесненной жидкости.