Одна труба наполняет бассейн до краёв за 7 минут. Вторая труба опустошает наполненный до краёв бассейн за 10 минут.

0) Предположим, что бассейн имеет форму прямого цилиндра (в основании - любая фигура). Труба, из которой бассейн наполняется (труба 1), предположим, наполняет бассейн всегда с постоянной скоростью (независимо от уровня воды в бассейне). Та труба, из которой бассейн опустошается (труба 2), должна быть на самом дне (так как по условию бассейн за 10 минут может опустошиться). Пусть в трубе 2 нет никаких клапанов и насосов. Тогда в трубу 2 вода вытекает свободно. Если считать на поверхности и на дне бассейна атмосферное давление и ускорение свободного падения одинаковыми, и что площадь отверстия трубы 2 незначительна по сравнению с площадью основания бассейна, то можно приближённо применить формулу Торричелли (с поправкой, то есть с неким общим коэффициентом k) как раз для такого случая. Согласно этой формуле, скорость P истечения воды из бассейна (из трубы 2) зависит от высоты h воды в этом бассейне:
P=k*корень(h), где k - некоторый положительный коэффициент.
Скорость истечения воды это минус скорость изменения объёма воды, то есть:
U2=-P=-k*корень(h), где U2 - скорость изменения объёма воды второй трубой (отрицательная величина).
Скоростью изменения объёма воды будем считать изменение объёма (V) за единицу времени (t):
U = (V2-V1)/(t2-t1).
Тогда мгновенная скорость - это производная объёма по времени U(t) = dV/dt = V'(t).
1) Пусть S - площадь основания бассейна, H - высота бассейна. Тогда объём бассейна V=SH. Скорость U1 изменения объёма воды только первой трубой - это постоянная положительная величина, равная U1=V/t=SH/7. Скорость U2 изменения объёма воды, найденная в предыдущем пункте - отрицательная величина. Так как объём V воды в бассейне зависит от h:
V=Sh, h=V/S, то при подстановке получится:
U2=-k*корень(h)=-k*корень(V/S).
2) По условию, вторая труба опустошает наполненный до краёв бассейн за 10 минут. Составим уравнение, описывающее этот процесс:
U2=V';
-k*корень(V/S)=dV/dt;
dV/корень(V/S)=-kdt;
корень(S/V)*dV=-kdt.
Так как эти дифференциалы равны в любой момент времени t этого процесса, то можно от обоих частей уравнения взять интегралы:
интеграл(корень(S/V)*dV) = интеграл(-kdt);
корень(S) * интеграл(dV/корень(V)) = -kt + c;
корень(S) * 2*корень(V) = -kt + C;
2*корень(SV) = -kt + C.
В нулевой момент времени бассейн заполнен: V(0)=SH. Подставим t=0, V=SH, и найдём C:
2S*корень(H)=C. Подставим это C в уравнение:
2*корень(SV) = -kt + 2S*корень(H).
По условию, V(10)=0. Подставим:
0 = -10k + 2S*корень(H);
k=S*корень(H)/5.
3) Составим уравнение, описывающее процесс с двумя трубами, которое должно выполнятся в любой момент времени этого процесса:
U1+U2=V';
SH/7-k*корень(V/S)=V';
SH/7-S*корень(H)*корень(V/S)/5=V';
SH/7 – корень(SHV)/5=V’.
Можно взять интеграл, как в предыдущем пункте, и получить зависимость объёма от времени, но это иногда довольно непросто. Я же предлагаю сначала посмотреть, при каком объёме производная объёма обращается в 0. Очевидно, что в самом начале процесса скорость набора воды самая большая (так как высота воды мала, то вода выливается медленно, а набирается с постоянной скоростью). Также очевидно, что при неограниченной высоте бассейна когда-нибудь трубы 1 с постоянной скоростью набора воды не хватит, чтобы заполнить бассейн (скорость набора воды U1 сравняется со скоростью утечки воды -U2, так как скорость утечки -U2 возрастает с возрастанием высоты, а скорость набора воды U1 не меняется). Но у нас есть конкретный бассейн (за счёт того, что нам дано время в случаях работы труб по одной, и мы нашли k через S и H). Вот мы и посмотрим, на какой высоте подъём воды «остановится», приравняв скорость изменения объёма воды к нулю:
V'=0;
SH/7 – корень(SHV)/5=0;
5SH/7=корень(SHV);
25(SH)^2 / 49 = SHV;
V=25*SH/49.
Этот объём меньше, чем объём бассейна. Увы, всё.
Ответ: такой бассейн никогда не наполнится до краёв. Он наполнится лишь на 25/49 объёма, а дальше объём воды в бассейне будет оставаться таким же, то есть скорость поступления воды будет равна скорости её вытекания.

Ну если не учитывать физику, то есть зависимость скорости истечения от давления (а учесть её невозможно, информации нет) - то чистая ж арифметика получается!
Скорость течения (поток точнее) в первой трубе "в попугаях" - 1/7 бассейна в минуту
Поток во второй трубе = 1/10 бессейна/мин.
Суммарная скороть наполнения= V1-V2=1/7-1/10=(10-7)/70=3/70=~1/23
бассейна в минуту.
Заполнится за 70/3=~23 минуты....

Если честно, не хочется на ночь глядя интегрировать.
А бассейн обычный? Постоянного сечения?

А в младших классах такие задачи решают так: за 1 час из первой трубы вода заполнит 1/7 бассейна; из второй за это же время выльется 1/10 бассейна; значит, при открытых обеих трубах за час вода заполнит 1/7-1/10=10/70-7/70=3/70 часть бассейна. Выходит, бассейн наполнится через 70 : 3 часа, т. е за 23,3333 часа, почти за сутки. За такое решение в школе ставят 5...

Всегда то что мы выпиваем, вытекает из нас медленней=))) Продукт сначало употребится=)))

9 минут...

за 23 минуты

Думаю, что проблема и в самом деле в мощности насоса? А дальше лень думать...

СПБ РЕБЯТА