Мальчик резвится в круглом бассейне с водой. Когда он находился в центре бассейна, к краю последнего подошёл людоед...

Была у Алексея Савватеева подобная задача, только про учителя и ученика, купавшегося в бассейне Москва (сейчас на его месте стоит ХСС). В условии там было, что скорость учителя в 4 раза больше скорости ученика в воде и вопрос: может ли ученик спастись.
Аналогичная задача была на канале Флесс про Форт Боярд математиков. Она попалась Борису Трушину и Дмитрию Побединскому, которые не смогли её решить. Вместо учителя там был Злой Дух.

Решение в общем виде.

Пусть мальчик отплывает от центра бассейна на расстояние r, а радиус бассейна равен R. Далее мальчик плывёт по кругу. Пусть линейная скорость мальчика равна v, а его противника (учителя, злого духа или людоеда) равна kv. С другой стороны линейная скорость равна произведению угловой скорости на радиус окружности. Отсюда угловые скорости мальчика и людоеда равны, соответственно, ω(м) = v/r и ω(л) = kv/R. Далее мальчик плывёт так, чтобы в какой-то момент времени оказаться в точке, диаметрально противоположной точке, где находится людоед, т.е. так, чтобы мальчик, людоед и центр бассейна лежали на одной прямой, причём центр между мальчиком и людоедом. Очевидно, он может это сделать лишь в том случае, если ω(м) > ω(л).
Отсюда:

v/r > kv/R
1/r > k/R
r < R/k (1)

Тогда угол МЦЛ (М - мальчик, Ц - центр бассейна, Л - людоед) будет всё время увеличиваться и в конце-концов станет равным 180 градусам.
Далее мальчик плывёт к краю бассейна по радиусу. Время, за которое он достигнет края, равно t(м) = (R - r)/v. Одновременно людоед бежит по полуокружности радиуса R, чтобы достигнуть точки, куда выплывет мальчик. Время, за которое он это сделает, равно t(л) = πR/(kv). Мальчик спасётся лишь в том случае, если он высадится край бассейна раньше, чем туда прибудет людоед, т.е. должно быть t(м) < t(л). Отсюда:

(R - r)/v < πR/(kv);
R - r < πR/k
R - πR/k < r;
r > R(1 - π/k) (2)

Объединяя неравенства (1) и (2), получим:
R(1 - π/k) < r < R/k
1 - π/k < r/R < 1/k

В случае k = 4, к примеру, получаем слева примерно 0,2146, а справа 0,25, т.е. мальчик спасётся, если отплывёт от центра бассейна на расстояние, скажем, 0,24 от радиуса бассейна.

Если k увеличивается, то нижний предел для r/R увеличивается, а верхний - уменьшается, и при некотором предельном значении k эти пределы становятся равны. Это означает, что двойное неравенство становится противоречивым, и мальчик не сможет спастись.

Отсюда можно найти это предельное значение k, приравняв нижний и верхний пределы для r/R:

1 - π/k = 1/k
1 = 1/k + π/k = (π + 1)/k
k = π + 1

Всё верно.

Итак, если отношение скорости людоеда к скорости мальчика в воде меньше π + 1, то мальчик может спастись. Чтобы это сделать, ему в любом случае достаточно отплыть на расстояние, равное 1/(π + 1) ≈ 0,241453 от центра бассейна и далее придерживаться вышеописанной стратегии. Если же это отношение больше или равно π + 1, то мальчик не спасётся.

есть скорость превышает в два раза, то шансы спастись зависят от побочных эффектов (время прыжка в бассейн и выхода из бассейна): пока один убегает по радиусу, другой догоняет по диаметру

Маленький мальчик в бассейне резвился
А людоед тихо вдруг появился...

По техническим причинам не могу найти ответ, где мы дискутировали с Арканианским Физиком по этому вопросу. Он убеждал, что мальчик (там, правда, был не мальчик) может иметь и меньшую скорость, но как-то не убедил...

Так мальчик может двигаться по спирали таким образом, чтобы центр всегда был на линии мальчик-людоед. А потом по достижении борта выбраться. Нет? Впрочем, нет. Чем ближе к борту - радиус будет расти и людоед начнет догонять. Мне кажется, надо бежать не по окружности, а по эвольвенте.
PS Нет. Аналитически как решить не знаю, прочертил, дуга 412, эвольвента 105,8, отношение 3,89. Ваше лучше решение.
PPS Но спираль надо попробовать

Если в пи раз, то они, как раз встретятся на краю бассейна.

Бассейн перевернут -людоеда нет - я сам видел.