В Термехе, по существу отсутствует система аксиом, которая позволяла определять физические положения чисто аналитически?

Да, кроме математических, в классической механике есть ещё три аксиомы: время однородно, пространство не имеет особых точек и одинаково во всех направлениях.

Проблема точности долговременного не в качестве аксиом, а в идеализации модели, которой описывается система. Аксиомы в теоретической механике как раз есть (иначе откуда бы взялся оператор Гамильтона...) . Но в РЕАЛЬНЫХ физических системах, в отличие от сферического коня в вакууме, ВСЕГДА действуют малые возмущающие силы, которые для простых расчётов отбрасываются. Например, на систему Земля-Луна, строго говоря, действует даже вращение Ганимеда вокруг Юпитера. Степень этого воздействия - куча нулей после запятой. Но как только таких воздействий не одно, а ТЫСЯЧИ (мало ли разных камней крутится в поясе астероидов...) , и как только рассматривается промежуток времени в МИЛЛИОНЫ ЛЕТ (а то и сотни миллионов) , - количество переходит в качество. Даже малое возмущение, которое хрен измеришь, "вдолгую" оказывает заметный эффект и может привести к результату, не прогнозируемому "чистой" моделью.

В термехе есть законы механики.

А теория устойчивости - это разве не математика?

Теоретическая механика по сути своей есть прикладное применение физики, соответсвенно, зачем городить свои аксиомы, если уже есть постулаты из фундаментальной науки ?

Ну почему же? В основах теормеха говорится, что будет использоваться эвклидова геометрия и векторная алгебра, естественно вкупе со всеми их аксиомами. Они то и позволяют на на основе всяческих умозаключений и построений определять физическое положение тела аналитически.