помогите с физикой. механика. я уже голову сломала.

Условия задачи явно неполные. При такой формулировке, как у вас, совершенно очевидно, что чем быстрее он будет бежать, тем меньше времени потратит.
Возможно, автор задачи подразумевал, что к концу дистанции, благодаря торможению, скорость должна стать равной нулю. Тогда имело бы смысл подумать над задачей. Но ведь на самом же деле в условиях это не оговорено!

Но давайте все-таки предположим, что это условие существует.
Ага! Заметил ваше добавление: в конце пути останавливается.

Обозначим V - скорость движения с постоянной скоростью, а - ускорение при торможении.
Рассмотрим сначала вторую часть дистанции (с торможением) .
При замедленном движении со снижением скорости до 0 затраченное время равно V / a, а пройденный путь S = V2 / 2a (здесь V2 значит V в квадрате) . Тогда первая часть пути (без торможения) выразится так: 500 - V2 / 2a. Итак, все необходимые промежуточные величины мы выразили через V и а.
Теперь можно и общее время движения написать, оно равно сумме двух времен (при равномерном беге + при торможении) :
(500 - V2 / 2a) / V + V / a. Осталось вычислить, при каком значении V это выражение будет наименьшим. Его можно упростить, у меня получилось: (1000а + V2) / 2aV.
Это квадратичная функция, и ее значение минимально, кажется, когда производная равна нулю. По правде говоря, я уж позабыл, как производную находить, может, дальше сами справитесь?

Ну и что? Для начала - в условии не сказано, что в конце дистанции конькобежец должен остановиться. Поэтому лучше всего ему двигаться со световой скоростью. И начать равнозамедленное движение за 1 нанометр, а еще лучше за 1 пикометр до финиша. А если "подразумевается", то об этом надо писать в условии. В таком случае ему надо первый 1 пикометр (это десять в минус двенадцатой степени метра - 1/1000000000000 м) проехать равномерно со скоростью 17,32 м/c -а всю остальную дистанцию ехать равнозамедленно. В таком случае он остановится через 57,74 секунды и пройдет до остановки как раз 500 метров.

Надо тормозить с самого начала. Много или мало, но это будет минимум времени.
Это так же, как если он будет набирать с места скорость, а затем прекратит. Ясно, что чем раньше он прекратит набор скорости, тем дольше будет бежать. Тут и считать нечего. Оптимальное время движения с постоянной скоростью - 0. Голову ломать не надо. Ты никогда не бегала? Если ты хочешь добежать быстрее, ты наращиваешь скорость.
v²=2as
Начальная скорость должна быть v=17,3 м/с

тормозить с самого начала будет, тогда начальная скорость легко считается) ) то что тормозит с самого начала проверь самым тупым способом - попробуй с самого начала тормозит и не с самого, а через секунду))