Если ехать на автомобиле со скоростью вращения Земли но в противоположную вращению сторону. Мы останемся на месте?

На месте ты останешся если будеш стоять)) ) А при движениии - полюбасу передвинишся))

на месте относительно чего? относительно какой точки?
нет, не останемся, земля крутится вокруг солнца.

Всё относительно (с) А. Эйнштейн )))
Так вот, "на месте" пассажир останется только относительно автомобиля.
Относительно Земли - он будет двигаться
Относительно Солнца - он будет двигаться вместе с Землёй по её орбите
Относительно центра галактики -- он будет двигаться вместе с Солнцем.

Если же вопрос был либо исковеркан автором, либо тобой, то да, при определённой скорости (которую автомобиль, кстати, не развивает) можно оставаться "на месте" во времени (до пересечения линии смены дат, проходящей восточнее Японии в Тихом океане) . Так, вылетев на самолёте из Токио в Москву, двигаясь навстречу вращению земли (на запад) , можно прибыть в точку назначения в то же время, что и вылетал (разумеется, из-за смены часовых поясов) . Так, можно оставаться в одних и тех же сутках до 48 часов (если совершить полное кругосветное путешествие в западном направлении) .

А вылетая из Японии в Лос-Анжелес, теоретически можно попасть в прошлое -- в предыдущие сутки.

Автомобиль такой скорости не имеет. а если да, то ты отъедешь на приличное растояние.

нет

Земля вращается относительно чего-то, звезд например, т. е. если ехать на автомобиле со скоростью вращения Земли но в противоположную вращению сторону то мы останемся на месте относительно звезд! а по дороге мы дааалеко продвинемся!