Физика. твердое тело вращается вокруг оси Z....

Расписываем график вращения тела:
1) С 0 до 2 с скорость изменяется с 0 до 4 рад/с, угловое ускорение
β1 = (ω1 - ω0)/(t1 - t0) = (4 - 0)/(2 -0) = 2 рад/с^2
2) С 2 до 8 с скорость изменяется с 4 до -2 рад/с, угловое ускорение
β2 = (ω2 - ω1)/(t2 - t1) = (-2 - 4)/(8 -2) = -1 рад/с^2
2) С 8 до 10 с скорость изменяется с -2 до 0 рад/с, угловое ускорение
β3 = (ω3 - ω2)/(t3 - t2) = (0 - (-2))/(10 -8) = 1 рад/с^2

Поворот:
1) С 0 до 2 с:
φ1 = φ0 + ω0(t1-t0) + β1(t1-t0)^2/2
2) C 2 до 8 с:
φ2 = φ1 + ω1(t2-t1) + β2(t2-t1)^2/2 = φ0 + ω0(t1-t0) + β1(t1-t0)^2/2 + ω1(t2-t1) + β2(t2-t1)^2/2
3) С 8 до 10 с:
φ3 = φ2 + ω2(t3 - t2) + β3(t3 - t2)^2/2 = φ0 + ω0(t1-t0) + β1(t1-t0)^2/2 + ω1(t2-t1) + β2(t2-t1)^2/2 + ω2(t3 - t2) + β3(t3 - t2)^2/2
Подставляя из условия φ0 = 0, из графика t0 = 0, t1 = 2, t2 = 8, t3 = 10, ω0 = 0, ω1 = 4, ω2 = -2, из предыдущих вычислений β1 = 2, β2 = -1, β3 = 1, получаем
φ3 = 0 + 0(2-0) + 2(2-0)^2/2 + 4(8-2) + (-1)(8-2)^2/2 + (-2)(10-8) + 1(10-8)^2/2 = 0 + 0 + 4 + 24 - 18 - 4 +2 = 8 рад

Общее положение такое: если нам дан какой-нибудь график w(t), то угол поворота численно совпадает с площадью, ограниченной графиком функции w(t). При этом площади выше горизонтальной оси берутся с плюсом, а те, что ниже - с минусом. В данном случае достаточно найти разность площадей верхнего и нижнего треугольников, что равно 12-4=8.