Интересный вопрос по физике....не задача....

Сергей, давайте договоримся говорить красиво. То, что задумались над этим вопросом, замечательно!
Давайте разберемся. Для начала предположим, что скважина не сквозная. Как поведет себя тело (камень, например) , опущенное в эту яму? Правильно, упадет на ее дно и при этом будет двигаться равноускоренно, т. е. скорость будет возрастать, так, как сила тяжести направлена по ходу движения (к центру Земли) . Теперь сделаем скважину сквозной. Тело будет падать с возрастающей скоростью, пока не дойдет до центра Земли. Но оно не остановится, а будет двигаться по инерции, причем скорость будет уменьшаться, так, как сила тяжести направлена против движения, тоже к центру Земли. Если не учитывать сопротивление, тело остановится у поверхности Земли, но с другой стороны. Движение будет повторяться в обратном порядке. Тело будет колебаться туда-сюда. Однако, из-за неизбежного сопротивления, тело, в конце концов, остановится в центре Земли.
Примечание: если скважину пробурить вдоль любого диаметра Земли, не только от полюса к полюсу, то поведение тела будет аналогичным.

Какой предмет? Намагниченный? Металлический, но не намагниченный? Из немагнитного материала?
В третьем случае предмет просто провалится в дырку и все дела. Во втором случае он притянется и прилипнет к той стороне магнита, в которую его закинули.
Если наш предмет - намагниченная палочка (1 случай) , то тут возможно несколько вариантов в зависимости от того, каким именно образом мы вставляем палочку в дырявый магнит, лежит магнит горизонтально или вертикально висит, хватит ли силы магнитного взаимодействия для преодоления силы тяжести, какой стороной мы кидаем палочку в магнит (полюса палочки совпадают по направлению с полюсами магнита или противоположны) . Тут может быть при определенном раскладе вариант "повиснет в воздухе внутри магнита" или "будет внутри магнита совершать гармонические колебания" или опять "пролетит сквозь магнит и упадет".

Слишком мало исходных данных для того, чтобы ответить на ваш вопрос

Коко Шанель
у меня тоже сначала была такая мысль. Но тут нельзя провести аналогию с Землей. Для тела, летающего внутри Земли существует сила, которая при смещении тела от положения равновесия (от центра Земли) возвращает его обратно. Т. е. это тело находится в УСТОЙЧИВОМ равновесии, когда "зависает" в центре Земли.
Если же тело находится в центре магнита то оно в неустойчивом равновесии. Т. к. при смещении его в какую-либо сторону не возникает силы, возвращающей тело обратно. Вернее возникает только в случае, если тело само по себе магнит, причем его полюса ориентированы так же, как полюса внешнего дырявого магнита. Если предположить, что какое-то другое тело находится в равновесии в центре магнита то при смещении этого тела наоборот возникнет сила, препятствующая возвращению в положение равновесия.

Остановится в центре ядра

Остановится (зависнет) где-то в центре.