Вопрос разбирающимся в астрономии.

Да, конечно могли бы.
И даже без запуска каких-либо космических аппаратов.
Просто по её влиянию на движение других планет (Марса, Венеры)

В дополнение к этому ответу могу сказать, что такую планету можно было бы увидеть, но очень редко.
Дело в том, что движение Земли по орбите неравномерно.
Разница скорости на противоположных участках орбиты такова, что гипотетическая планета не может все время быть на линии, которая проходит через центр Солнца и Земли. То есть планета-близнец должна периодически "выглядывать" из-за Солнца и во время солнечных затмений ее можно было бы обнаружить.
А если учесть, что орбита Земли под влиянием Марса и Венеры слегка меняется, то орбиты двух планет (Земли и ее близнеца) со временем должны сильно отличаться.

Могли бы. Например, приблизительные положения Нептуна и Плутона были сначала вычислены по возмущениям в движении других планет Солнечной системы, и лишь спустя годы эти небесные тела удалось увидеть визуально с помощью телескопов.

Также чисто фантазия.. .
Предположу, что из двух планет, движущихся по одной орбите, рано или поздно - одна догонит другую.. .
Если мы говорим о противовесе, то массы должны быть одинаковыми.
Про двойные звезды слышал.
Про двойные планеты - нет.

в теории инфляции вроде бы говорится что есть бесконечное число планет и таким образом по теории вероятности получается что существование близнецов вполне возможно