Вопрос только физикам (про магнит и гвоздь)

На самом деле этот вопрос очень риторический.
То, что вопрос является риторическим, можно понять на такой аналогии. Рассмотрим, вопрос Гвоздь притягивается к Земле (это факт!) . Будучи отпущенным, гвоздь приобретает скорость (в направлении Земли) , а значит и кинетическую энергию. Следовательно КАКАЯ-ТО сила совершает над ним работу. Вопрос: что это за сила? Я просто в Вашем вопросе поменял слово "магнит" на слово "Земля".
Почему-то на этот вопрос все легко отвечают, что работу над гвоздем совершает сила тяжести (сила гравитационного притяжения) . Но на самом деле, все дают такой ответ просто потому, что эта сила имеет название. Мы эту силу можем назвать своим именем. А суть ее это градиент гравитационного поля.
Также и в случае с магнитом. Суть силы, которая притягивает гвоздь к магниту, это градиент магнитостатического поля. Ну не дали этому градиенту никакого специального названия. Ну что поделать. Так получилось исторически.

Могу предположить, что это "упругость атомов", то есть в конечном счёте - электростатическое взаимодействие между электронной плотностью (искажённой в неоднородном поле магнита) и ядрами, получающими ускорение в сторону, куда в результате смещена плотнось.
Такой уровень модели сойдёт?

На этот вопрос я уже отвечал не так уж и давно.

Соглашусь, сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости.
Но скорости чего?
Электронов.
А электроны по гипотезе Ампера (ничего не изменилось, фигушки! ) - это круговые токи.
Так вот, сила Лоренца, действующая всегда перпендикулярно скорости, может быть направлена только вдоль оси того круга, по которому течёт ток.
То бишь она притягивает этот ток (атом в частности и кристаллическую решётку в общем) .
И сила Лоренца в данном случае уже не перпендикулярна перемещению и работу совершает.

P.S. Аналогично и в гаусс-пушке сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости электронов и движет таки проводник с током - снаряд.

Если к вопросу подходить формально, то работу совершает сила Ампера. Два магнитных диполя притягиваются, точно также как проводники, по которым течет ток.
Классическая электродинамика не дает и не может дать ответа на то, каким образом постоянный вихревой ток в магните индуцирует ток в веществе гвоздя или другом теле. Коэффициент пропорциональности между напряженностью поля и индукцией обозначают μ, но как вычислить эту величину и откуда она берется, классическая электродинамика не знает.
Точно также, два нейтральных металлических шара не притягиваются, а между двумя нейтральными атомами действует сила притяжения. Спрашивается, каким образом один нейтральный атом смог индуцировать на другом дипольный электрический момент, а второй сделал тоже самое на первом? Ведь именно взаимной индукцией атомов объясняется сила Ван-дер-Ваальс, которую можно понять только на квантовомеханическом уровне.
Если вы до конца станете вычислять, откуда взялось μ, то окажется, что из обменных интегралов или из вакуума (сила Казимира) .

Сила Лоренца не совершает работу только над движущимся в нем электрическим зарядом. А притягивание железного гвоздя - это воздействие магнитного поля на магнитные диполи в металле-ферромагнетике. Тут работа вполне себе может совершаться. Интересны подробности - гугли по "ферромагнетикам" и "магнитным доменам".

Всякая замкнутая система стремится к минимуму потенциальной энергии. Для системы гвоздь-магнит такое состояние наступает при слипании гвоздя и магнита.
Силу Лоренца вы поняли неверно. Сила Лоренца — сила, с которой, в рамках классической физики, электромагнитное поле действует на точечную заряженную частицу.
На гвозде в магнитном поле образуются два полюса. В однородном поле равнодействующая сил равна нулю. В неоднородном поле (наш случай) равнодействующая сил не равна нулю и будет двигать гвоздь к магниту

Сначала магнит своим магнитным излучением намагничивает гвоздь, который в результате этого воздействия тоже становится магнитом и начинает испускать из себя своё собственное магнитное излучение, которое, взаимодействуя с излучением первого магнита, заставляет два этих металлических предмета двигаться навстречу друг другу. Причём, видимо, и магнит и гвоздь впитывают в себя излучение партнёра из разделяющего их пространства, заставляя их этим действием совершать движение навстречу друг к другу.

Работа, совершаемая неоднородным магнитным полем над гвоздем-ферромагнетиком, состоит из двух слагаемых:
1. Слагаемого, связанного с намагничиванием ферромагнетика в результате переориентации векторов магнитных моментов доменов ферромагнетика по полю:
A = ∫H*dB (границы - 0, B).
В результате возникает магнитный диполь, энергия магнитного поля которого больше, чем в изначальном состоянии, так как зависит от объема, в котором это поле существует.
2. Слагаемого, связанного с работой по перемещению намагниченного ферромагнетика в поле магнита - втягиванию в область с более сильным магнитным полем. Работа совершается за счет уменьшения потенциальной энергии взаимодействия магнитного момента ферромагнетика с индукцией магнита
U = (μ⋅B). (1)
Сила, совершающая работу, есть градиентом от выражения (1):
F = ∇(U).
Качественно это объясняется тем, что, когда линии индукции магнита замкнуты на ферромагнетике и наоборот, энергия суммарного поля минимальна, чем при изолированных друг от друга магните и ферромагнетике (опять же, зависимость энергии поля от объема, в котором поле существует) .

Вообще, можно рассмотреть прямой проводник с током I и длиной L, перемещающийся поступательно параллельно самому себе на отрезок dx и переходящий, таким образом, из некоего положения 1 в некое положение 2.
Если вектор индукции B перпендикулярен к L и dx, на проводник действует сила
F = I*B*L,
а работа, которая совершается этой силой, будет равна
dA = I*B*L*dx = I*B*dS,
где dS - площадь, которую описал проводник с током при движении.
В более общем случае, если вектор индукции направлен иначе, чем строго перпендикулярно к L, его можно разложить его на компоненту Bперп. , перпендикулярную dS, и компоненту Bпар. , параллельную dS. Из-за того, что сила F перпендикулярна B, параллельная составляющая Bпар. обусловит силу, перпендикулярную dS, работа которой будет равна нулю.
Отсюда
dA = I*Bперп. *dS.

Аналогично, кстати, выглядит и выражение для работы при вращательном движении проводника в магнитном поле. Если элемент dL проводника поворачивается на угол dα, то при движении он описывает площадь
dS = L*dα*dL,
где L - расстояние элемента dL от оси вращения. Тогда сила по перемещению будет равна
dF = I*dL*Bперп. ,
а работа -
dA = I*dL*Bперп. *L*dα = I*Bперп. *dS.

Работает закон сохранения импульса. Сколько импульса втекает, столько же должно вытечь.
Гвоздь парамагнетик - намагничивается по линиям магнитного поля, в отличие от диамагнетика. Работу совершает пондеромоторная объемная сила, которая в силу вышеупмянутого закона сводится к поверхностной. Сила эта создает отрицательное давление на поверхности парамагнетика, иначе притягивает гвоздь к магниту. Или происходит компенсация втекающего импульса.

Сила тяжести воздуха.