Переведите пожалуйста на русский?? Мне говорят, это очень просто!

любое компактное трехмерное пространство, не имеющее открытых и замкнутых множеств -подобно бесформенной и неограниченной трехмерной сфере

Смысл фразы в том, что любое объемное тело без дыр и без краев, например, эллипсоид, подобен сфере.
А Вася Пупкин передал не совсем верно - он забыл про края.

Бред! Это математики придумали, чтобы казалось, что они умные.
"Если ученый не может объяснить свою теорию пятилетнему ребенку, значит он сам в ней ничего не понимает" (Курт Вонегут, Колыбель для кошки).

Так это и так на русском написано!

В вопросе есть небольшая неточность: отсутствие одновременно открытых и замкнутых множеств - это свойство топологической связности. Односвязность означает, что любую замкнутую кривую можно непрерывно стянуть в точку (более строго : все замкнутые пути в линейно-связной области гомотопны нулю) . На простом языке: односвязная область - это область без дырок. Мячик (сфера) - односвязный, а поверхность бублика (тор) - неодносвязна (но связна) .

Смысл гипотезы немного хитрее, чем тут описывали. гомеоморфность сферы и эллипсоида очевидна, Но описанным условиям удовлетворяют куда более хитрые объекты, нежели эллипсоид, и в любом количестве измерений. Тут говорили про "надувательство" :) Имелось ввиду, что нужно представить, будто поверхность ложкти, кошки и т. д. - это резиновая оболочка. И вот ее надувают. Гомеоморфность означает, что при "надувании" ничего не рвется.

Если в нескольких словах, то:
1) поверхность мячика - сфера. Если мы обвяжем вокруг мячика веревку (скользящую) , то, потянув за концы, сможем завязать узел, при этом веревка соскользнет с мячика - сфера односвязна.
2) Если проделать тоже с бубликом, то веревка соскользнет не при всяком обвязывании: проденем веревку сквозь дырку в бублике, то запросто завяжем узел, из которого не выскользнуть - тор не односвязен.
3) Легко видеть, что какой бы бугристой не была поверхность резинового изделия, если оно всегда выскальзывает из петли, завязанной вокруг узлом, то его можно надуть в мячик - оно топологически эквивалентно сфере.
4) Собственно гипотеза Пуанкаре: эквивалентность сфере следует из односвязности не только в 3-х измерениях, но и в пространствах любого числа измерений.

Вот популярное объяснение в виде видео. :)

Кстати, у Воннегута написано немного иначе (но суть от этого меняется очень сильно!) : "если ученый не умеет популярно объяснить восьмилетнему ребенку, чем он занимается, значит, он шарлатан". Угу? Теория, ее суть и чем занимаешься - разные вещи. Да и в 8 лет дети куда сообразительнее, нежели в 5.

Смысл гипотезы в том, что любую форму можно надуть и она превратится в шар при условии, что в этой форме нет дырок. Можно надуть куб, можно надуть ложку или дерево, но нельзя кошку, так как сквозь кошку проходит рото-жопное отверстие.