В XVIII веке геометрию всё ещё учили по "Началам" Евклида. Неужели за 15 веков не было открыто ничего нового?

Нового открыли много, но это школьники не учат. Слишком сложно.

Ну почему, в неевклидовой геометрии параллельные, к примеру, пересекаются.
=)

Про Лобачевского почитай.

Думаю, что основная причина в том, что с V по XV век (1000 лет! ) всю полноту власти захватила церковь, в течении этого времени ВСЕ науки и искусства находились в замороженном состоянии. Этот период все знают как СРЕДНЕВЕКОВЬЕ.

геометрия описывает свойства пространства. для плоского пространства все его свойства описал евклид и ничего нового добавить невозможно. это как с таблицей умножения, как не мудурствуй, все равно 2*2=4. лобачевский, риман, минковский и др. предложили иные пространства, свойства которых отличаются от плоского. ОТО показала что такие пространства реально существуют. сейчас говорят о многомерных пространствах в теории струн. если будет доказана справедливость этой теории, то и многомерные пространства получат право на существование.

Просто рядовому школьнику знать больше ни к чему, да и сложно и рано

Мы и сейчас учим геометрию по "Началам". С небольшими изменениями (переводами) . А теорема Пифагора будет существовать вечно. Как и все остальные теоремы.

Церковь в те времена не очень поощряла научные открытия. К тому же в простой геометрии (не аналитической) открывать особо нечего.

А как можно изменить прямоугольный треугольник?

Во-первых, в базовой геометрии действительно ничего нового не открыли. А во-вторых, из этих 15 веков больше половины приходится на средневековье, во время которого геометрию не изучали.