Возможно ли разогнать космический аппарат с помощью гравитации Луны и Земли и до каких скоростей?

Максимум при гравитационном манёвре - первая космическая скорость.
Для Луны она составляет около 1,7 км/с, для Земли - 7,9 км/с, в сумме - не больше 9,6 км/с.
При этом, чтобы вывести аппарат на орбиту, нужно уже придать ему вторую космическую скорость относительно Земли - 11,2 км/с.
Относительно Солнца всё это в сумме составит максимум около 51 км/с, причём, для вылета за пределы Солнечной системы понадобится 43 км/с.
В остатке всего 8 км/с.
До ближайшей звезды лететь с такой скоростью 160 тысяч лет.
Можно, конечно, ускориться у каждой планеты и крупных спутников, что в сумме даст около 100 км/с остаточной скорости - всего 13 тысяч лет полёта.

Только гравитацией?
Ну, до второй космической можно: при лобовом столкновении :)))

Если жалко разбивать космический аппарат, то можно сделать гравитационный манёвр.

так они и разгоняются планетами

Одиночный гравитационный манёвр у Луны для межпланетных станций не позволяет "наиграть" больше 200 м/с, поэтому им практически не пользуются. Гравитационный манёвр у Земли может дать больше, но вряд ли больше 2 км/с. Вот на Юпитере можно получить больше 10 км/с
Есть АМС, которые делали несколько гравитационных манёвров, например, "Мессенджер" - нынешний искусственный спутник Меркурия. Он и у Земли, и у Венеры и у Меркурия скорость изменял. А вот "Юнона" (JUNO), которая недавно была запущена, будет разгоняться именно у Земли, чтобы попасть к Юпитеру и выйти на орбиту вокруг него.