Плоскости орбит большинства планет в спиральной галактике параллельны (или близки к этому)?

Это не так. Солнце, например, а с ним и вся солнечная система, движется вместе с рукавом Ориона галактики Млечный путь, по сути лежа на боку. северным полюсом вперед, со скоростью около 230 км/сек. И кто Вам сказал, что Млечный Путь расположен вдоль экватора? Вдоль экватора расположена эклиптика, и созвездия зодиака. Плоскость Млечного Пути им перпендикулярна.

У планет орбиты могут располагаться как угодно относительно друг друга. Это в пределах одной звездной системы они обычно параллельны. А в разных звездах плоскости такого вращения могут быть разными. Расположения этих плоскостей зависит от взаимных направлений локальных скоростей звезд и газопылевых облаков, из которых формировались планеты. При этом и звезда и облако имеют составляющие скорости вращения вокруг центра галактики. Эти две составляющие вращения взаимно уничтожаются, когда находите относительную скорость звезды и облака, вычитая из одной скорости другую.
Другими словами, чтобы было более понятно, перейдите сразу в систему отсчета, которая вращается вокруг центра галактики. Но, конечно, скорости вращения звезд вокруг центра галактики в точности не совпадают со скоростью вращения газопылевых облаков вокруг центра галактики. Но разница этих скростей примерно такая же, как и скорости собственного движения звезд и облаков, которые не связаны с вращением.

Плоскости орбит планет близки к плоскости экватора звезды. У всех планет, солнечной системы, спутники находятся в плоскости экватора планеты. Исключением является Земля. Плоскость орбиты Луны находится в 5 градусов от эклиптики.
К стати, центр галактики примерно находится в плоскости экватора Солнца.