Квантовая запутанность. Как думаете, возможно ли использовать ее для передачи информации мгновенно?

Это предмет не соображений, а математически строгих утверждений. Нет, нельзя

Полная случайность - это чушь. Даже если взять полную случайность - например тот же эксперимент с монетками и договориться, что в случае выпадения пяти раз подряд монеток на орёл (а это вполне возможно) , то часы разнесённые на исследуемое расстояние - выставляются на ноль. А это уже мгновенная синхронизация часов - самая важная информация, которая изменит всю физику.
И если действительно существует, то будем ждать изменений в науке.

(ЭПР-парадокс) — кажущийся парадокс.. . В самом деле, представим себе, что на двух планетах в разных концах Галактики есть две монетки, выпадающие всегда одинаково. Если запротоколировать результаты всех подбрасываний, а потом сравнить их, то они совпадут. Сами же выпадания случайны, на них никак нельзя повлиять. Нельзя, например, договориться, что орёл — это единица, а решка — это ноль, и передавать таким образом двоичный код. Ведь последовательность нулей и единицы будет случайной и на том и на другом «конце провода» и не будет нести никакого смысла.

Получается, что парадоксу есть объяснение, логически совместимое и с теорией относительности, и с квантовой механикой.

Можно подумать, что это объяснение слишком неправдоподобно. Это настолько странно, что Альберт Эйнштейн никогда не поверил в «бога, играющего в кости» . Но тщательные экспериментальные проверки неравенств Белла показали, что в нашем мире есть-таки нелокальные случайности.

Важно подчеркнуть одно уже упомянутое следствие этой логики: измерения над запутанными состояниями только тогда не будут нарушать теорию относительности и причинность, если они истинно случайны. Не должно быть никакой связи между обстоятельствами измерения и возмущением, ни малейшей закономерности, потому что в противном случае появилась бы возможность мгновенной передачи информации. Таким образом, квантовая механика и существование запутанных состояний доказывают наличие индетерминизма в природе.