Как через транзистор усиливается сигнал?

На базу подается сигнал, переход коллектор-эмиттер открывается с частотой этого сигнала, только более мощной из-за приложенного напряжения. Вот и все.

он усиливает ток путем изменения своей проводимости и на резисторах получается усиление напряжения (на нагрузке)

R13 и R17 задают коэффициент усиления входного сигнала по напряжению:
Ku = -R17/R13
Это связано с тем, что ток через R13 и R17 течёт практически одинаковый, соответственно, по закону Ома, изменение напряжения на R17 (выходное) зависит только от соотношения номиналов этих резисторов (т. к. изменение напряжения на R13 повторяет изменение входного напряжения) .
Минус, потому что фаза сигнала меняется при усилении на 180 градусов (инверсия) .
Если снимать выходной сигнал не с коллектора, а с эмиттера, то усиления по напряжению мы не получим, однако возможно усиление по мощности (в нагрузку может быть отдан больший ток, по сравнению с током исходного сигнала) .
Делитель R16-R15 определяет оптимальное смещение выходного напряжения по постоянному току (примерно половина напряжения питания).

Попытаюсь очень коротко дать ответ на первую часть Вашего вопроса: " Как через транзистор усиливается сигнал? ".
Транзистор, из которого состоит представленный Вами усилитель, должен находиться не в открытом или закрытом состояниях, а быть открыт только частично. Для обеспечения такого состояния транзистора на его базу подается небольшое напряжение. Эта процедура называется смещением транзистора.
В примере на представленном Вами рисунке, для обеспечения смещения транзистора к его базе присоединены резисторы R16 и R15, включенные по схеме делителя напряжения. Сопротивления подбираются таким образом, чтобы в средней точке делителя напряжение было достаточным для включения транзистора и разрешения току течь через транзистор.
При усилении сигнала переменного тока, такого, например, как на выходе микрофона, этот сигнал должен центрироваться по уровню относительно 0 В, чтобы не изменить смещение. Для отсечения постоянной составляющей сигнала с микрофона (постоянного смещения) на входе усилительного каскада ставится фильтрующий конденсатор, который на Вашей схеме отсутствует. Обеспечиваемый таким образом эффект иллюстрирует рисунок ниже:
Смещение базы транзистора и является основной разницей между использованием транзистора в режиме усилителя и режиме ключа. Применяя транзистор как электронный ключ, следят за тем, чтобы транзистор мог находиться лишь в одном из двух состояний: быть включенным или быть выключенным.
Для усиления же сигналов на базу подается напряжение смещения, которое позволяет транзистору находиться в частично открытом состоянии. Такое функционирование транзистора можно сравнить с работой автомобиля на холостом ходу.
Смещение базы транзистора позволяет ему отвечать на любое, даже малейшее, воздействие входного сигнала. Для включения транзистора на базу необходимо подать напряжение около 0,6 В (разность потенциалов между базой и эмиттером) . Если же транзистор не должен находиться в проводящем состоянии, то достаточно обеспечить любое входное напряжение ниже этого уровня.
При смещении же базы транзистора происходит усиление входного сигнала любой величины. Эффект от смещения транзистора изображен графически на рисунке ниже:
Обратите внимание на то, что при отсутствии смещения усиливается лишь часть входного сигнала; остальная часть теряется. Смещение позволяет усиливать весь сигнал.

Отвечая на вторую часть Вашего вопроса, можно сказать, что два остальных резистора, назначение которых Вы просили обьяснить, — R13, включенный между эмиттером и землей, и R17 (между коллектором и питанием) — служат для контроля коэффициента усиления.
Коэффициентом усиления называют степень усиления сигнала. К примеру, если говорится, что коэффициент усиления каскада равен 10, это означает, что входной сигнал с амплитудой 1 В на выходе усилится до 10 В.

Чтобы открыть транзистор, необходимо на переход эмиттер-база приложить напряжение - входной сигнал, а чтобы усилить этот сигнал, на коллекторно-эмиттерный переход подаем напряжение +V.

Из какой книги рисунок?

Радиоэлектроника для чайников

Гордон Мак-Комб, Эрл Бойсен