Из чего состоит электрон и протон?

Ну, протон-то составной объект, он состоит из трех кварков, связанных облаком глюонов. А электрон пока никакой внутренней структуры и вообще конечного диаметра не обнаружил, он ведет себя в пределах достигнутой точности измерений как идеальная точка.
А преподаватель тебе скажет - электрон в физике сейчас описывается как точка. И точка :)

Пока точно не известно. Нельзя же знать сразу все! Подожди, постепенно и это выяснится.

НУ, если вспомнить современные гипотезы, именуемые "теорией струн" - так и лептоны (ЭЛЕКТРОН то есть) и кварки - просто КОЛЕБАНИЯ тех многомерных струн. Можно ли разрезать "колебание струны"?

Вот протон да - составной, его таки можно разрезать, не вопрос.... только свободные кварки не вылетают, образуют мезоны...

Электрон не шарик.
Это квантовый объект. К которым не применимы понятия - разрезать, объем, и прочие, привычные из повседневного опыта.

Понятия, которые дают в школе - по сути, ненаучные, т. к. на строго научном языке объяснять квантовую физику в школе просто невозможно, не поймут. Поэтому прибегают к упрощениям.

Надо как минимум понять, что такое поля и волны. Почитать немного историю корпускулярно-волнового дуализма. Почитать, как этот дуализм разрешился. Понять, что такое квантованное поле. Квантованное (квантовое) поле - поле, которому нельзя передать или отнять любую энергию - можно только кратную определенному количеству, которое называется квантом. Может, тогда станет немного проясняться, что электрон - не частица (сейчас в науке, по сути, нет частиц, слово "частица" пишут для упрощения) , это квант электронного поля.

Конечно, можно изобрести какой-то хитрый прибор, поставить эксперимент, и попытаться оторвать кусок от электрона. Но при этом, оказывается, от электрона оторвется.. .еще один (целый) электрон (или, скорее всего, другая частица, фотон например) и будут два полноценных электрона, ну или по-прежнему целый электрон плюс фотон.

А для улучшения понимания можете посмотреть очень наглядный эксперимент - наберите в ютубе "эксперимент с двумя щелями", например, этот http://www.youtube.com/watch?v=QVsjg8loooA.

P. S. Видео взято из одного фильма. Но весь фильм смотреть не советую, голимая философия, а вот двухщелевой эксперимент хорошо сделали.