Правильно ли я понимаю, что чётко вверх головой и чётко вниз головой созвездие Ориона увидеть нигде нельзя?

Независимо от значения наклона оси, на полюсе Земли Полюс Мира находится в ЗЕНИТЕ, а экватор ПЕРПЕНДИКУЛЯРЕН оси вращения. Поэтому на полюсах экватор совпадает с горизонтом - без вариантов! Так как экватор проходит примерно ПОСЕРЕДИНЕ Ориона, НИ НА ОДНОМ из полюсов его полностью НЕ ВИДНО - только по пояс (голову - на северном полюсе, ноги - на южном) .
Пусть мы смотрим на два объекта, находящихся на экваторе. Первый всходит (и заходит) раньше, чем второй. На востоке первый будет выше второго (он же взошёл раньше) , а на западе он станет ниже второго. Т. е. , когда точка юга будет посередине между ними, объекты окажутся на одинаковой высоте над горизонтом. В точке юга экватор параллелен горизонту, и это НЕ ЗАВИСИТ от широты места наблюдения. Так что, караульте Орион, когда он на юге, - он будет расположен вертикально.
Соответственно, в южном полушарии, когда Орион расположен над точкой севера, он будет смотреться "чётко вниз головой".
На экваторе он "чётко проходит через зенит", так что там пояс - над головой, а и голова, и ноги - ниже.
А вот пояс Ориона не параллелен экватору, поэтому у нас он будет параллелен горизонту, когда Орион находится на юго-западе.

"А раз по нему проходит экватор - значит, на полюсах он будет виден только по пояс и только ниже пояса? " - нет, так было-бы, если бы Земная ось была строго перпендикулярна эклиптике, но Земля имеет наклон орбиты 23 градуса, так что на полюсах Орион должен в определенный сезон поместиться весь. :-/

Вверх головой зимой - куда уж чётче. И почему Орион должен быть строго вертикально: это же не человек, а звёзды никак не связанные между собой.