Естественные науки

Расстояние между окружностями. Как вычислить?

Даны две окружности единичного радиуса, обе с центром в налаче координат, как найти минимальное расстояние между ними в пятимерном пространстве?

Окружности можно задать углами Эйлера или парой векторов или еще как-то, это не важно, главное решить.
ОК
Ольга Казак/позднякова
10 543
"и что различные окружности на этой 4-сфере могут вооще не иметь общих точек? "

Конечно! Берите двумерную плоскость, откладывайте на ней окружность. Ортогональное дополнение к плоскости - трехмерное пространство. Выбирайте в нем произвольное двумерное подпространство и в нем стройте вторую окружность.

Ортогональные подпространства пересекаются исключительно в нуле. Между такими окружностями будет расстояние sqrt(2) - это оценка сверху на то, что Вам нужно. Оценка снизу - ноль.

В общем случае решение зависит от способов параметризации окружностей. Одна при проектировании на плоскость другой даст эллипс внутри окружности, вот где у него большая полуось будет, там и ищите свое расстояние просто по теореме Пифагора.
Таня Краснова
Таня Краснова
25 105
Лучший ответ
Ольга Казак/позднякова Спасибо. Я пришел к подобному выводу. Но всетаки хотел уточнить пару моментов: Верно ли утверждение, что в пятимерном эвклидовой пространстве все многообразие окружностей единичного радиуса с центром в начале координат представляют собой четырехмерную сферу? и что различные окружности на этой 4-сфере могут вооще не иметь общих точек? (В отличии от окружностей на сфере, где они всегда будут иметь хотя бы две общие точки).
например, метод множителей Лагранжа, неизвестные - точки, минимизируем расстояние между ними, уравнения окружностей (заданные так, как вам надо) - ограничения. Ограничения, например: расстояние до центра = 1, проекция на ось, перпендикулярную плоскости окружности - 0.

для практической задачи я бы не парился с аналитическим ответом, задал бы функции, выдающие положение точки на окружности по некоторому параметру, далее, нашел бы по МНК численно пару параметров с минимальным расстоянием любым методом.
Каро Полеян
Каро Полеян
89 063
Ольга Казак/позднякова Не могли бы вы подробнее объяснить. Я например могу задать окружность двумя единичными векторами не лежащими на одной прямой, они образуют плоскость окружности, а при повороте этих векторов в этой плоскости, их "концы" образуют окружность. Но численнй метод не знаю как получить. Что именно считать...
Ольга Казак/позднякова Вообще ортонормированный базис 5-мерного пространства это единичная матрица 5х5, "концы" этих векторов всегда точки на 4-сфере, на которой лежат любые подобные окружности, при повороте базиса, 2 его вектора из 5 образуют плоскость окружности, а 3 другие это базис пространства перпендикулярного этой плоскости. Но как это поможет не знаю...
Serik Tuhtarov "проекция на ось, перпендикулярную плоскости окружности - 0"

Нет. Там трехмерное ортогональное дополнение к плоскости окружности, ограничений чуть больше будет, но не суть важно.
По определению - расстояние - минимум расстояний между парами точек. В пятимерном пространстве надо уточнять размерность "окружностей". В любом случае: центры окружностей совпадают, поэтому их можно рассматривать как сечение 5мерного шара гиперплоскостями, проходящими через центр координат. Не буду доказывать, что окружности обязательно пересекутся. Т. е. расстояние = 0.
АЗ
Алена Захарова
68 671
Serik Tuhtarov Для четырехмерных гиперплоскостей задача не интересна - ясный пень, что окружности пересекутся и дадут в пересечении хотя бы сферу в трехмерном ЛП. Интереснее, если окружности на двумерных многообразиях берутся.
Ольга Казак/позднякова Окружности одномерные. И они не обязательно пересекуться, вы совершенно не правы!
Даже если взять 3-х мерное пространство и две окружности, расположить их максимально близко, то получим что:
1) окружности сливаются в одну, если находятся в разных плоскостях
2) окружности соприкасаются в одной точке, если находятся на одной плоскости.
Поскольку 3-х мерное пространство является составной частью 5-ти мерного, то в 5-ти мерном пространстве решение данной задачи сведется к 3-х мерному пространству.
Pa
Pavel
4 258
Таня Краснова Нет, плоскости, в которых лежат окружности, не обязаны пересекаться кроме как в нуле.
Ольга Казак/позднякова В размерностых выше 3 такие окружности могут вообще не иметь общих точек, так что ваш вывод не верен.

Похожие вопросы