Как вычислили примерный возраст и расстояние Вселенной?

Из закона Хаббла: нарастание скорости убегания отдалённых объектов пропорционально расстоянию до них. То есть на каждый мегапарсек расстояния скорость убегания увеличивается примерно на 68 км/с.

Важно понимать, что это не сами объекты от нас убегают, а расширяется само пространство. Даже если некий объект - галактика, например, совершенно неподвижна, при всей условности понятия "неподвижность" в применении к Вселенной, - всё равно эта точка пространства убегает от нас со скоростью, определяемой законом Хаббла.

Ну и вот если посмотреть на самые-самые отдалённые объекты (а раз они самые отдалённые, значит, они и самые ранние) и измерить расстояние до них, то через это расстояние и закон Хаббла можно сосчитать, когда был излучён свет, который только-только до нас добрался.

Это, тысызыть, базовая фишка. Но есть и тонкости.

Объекты, которые мы видим, даже столь древние, как квазары (они возникли на довольно ранних этапах развития Вселенной), всё равно моложе, чем Вселенная в целом. Чтобы возникли звёзды, понадобилось довольно много времени. Поэтому самые ранние этапы её развития и становления - ну примерно первые 400 тысяч лет - изучаются не через прямые наблюдения за какими-то объектами, пусть и самыми отдалёнными, а "на кончике пера". Модель расширяющейся Вселенной базируется на фундаментальных и твёрдо установленных природных законах - Общая теория относительности и квантовая механика (парадоксальным образом для описания свойств самого большого объекта - Вселенной - требуется теория, описывающая самые маленькие объекты: элементарные частицы). Вот эти две теории плюс изучение реликтового излучения и позволили описать самое начало жизни Вселенной и оценить её возраст.

37 млрд световых лет примерно по последним данным.
это вычисляют по паралаксу от космических объектов.

В Вики посмотрели.