Момент инерции Как выводится формула момента инерции сплошного цилиндра: I = m(R2/4 + h2/12)

"Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс" - это мы догадываться должны?

Вот вопрос, для каких тел уже известен момент инерции. Я бы в стал так делать:
1. Нашел момент инерции диска для оси, перпендикулярной диску, проходящей через его центр масс. Задачка очень популярная и, возможно, Вами уже решенная.
2. Нашел момент инерции диска для оси, лежащей в плоскости диска, проходящей через его центр масс. Будет половина от предыдущего из соображения симметрии координат в интеграле
3. Проинтегрировал бы цилиндр по дисковым сечением. Теорема Гюйгенса-Штейнера в помощь, да и ответ намекает, что такой подход должен красиво сработать.

По определению момента, как интеграл массы-радиуса по объему цилиндра.

найдем момент инерции относительно оси проходящей через центр масс цилиндра перпендикулярно оси цилиндра. проведем ось ОХ вдоль оси цилиндра, разобьем цилиндр на малые цилиндры. пусть х - расстояние от одного из таких элементов до оси, а dx - его длина. тогда момент инерции такого элемента dJc=x^2*dm=x^2DS*dx, где D - плотность материала цилиндра, S - площадь его поперечного сечения. интегрируя по ч от 0 до l/2 найдем момент инерции одной половинки цилиндра, а искомый момент будет в 2 раза больше Jc=2SD*int x^2*dx=2/3*DS(l/2)^3=ml^2/12, т. к. DSl=m. приведенный вами момент возможно получен после применения теоремы Гюйгенса-Штейнера, но о нём вы в вопросе ничего не говорите.