Итак. момент инерции I материальной точки равен mR^2, где R - расстояние до оси вращения.
Распределив массу материальной точки по всей окружности получаем, окружность такой же массы, и все её точки распределены на одинаковом расстоянии от оси. Таким образом, момент инерции окружности равен mR^2.
Возьмем тонкий стержень длиной (I=1/3mR^2) R и будем вращать его вокруг одного из его концов. по аналогии распределим массу dR каждой точки стержня по окружности, и получим диск. по идее, момент инерции не должен измениться. Однако известно, что момент инерции диска равен 1/2mR^2
Почему аналогия не работает? Где ошибка?
Данный метод мог бы помочь находить моменты инерции тел через тела их вращения. однако он не работает, и непонятно, почему. Или непонятно, как.
P.S. Как найти момент инерции, скажем, диска, вращая через его диаметр, не прибегая к интегрированию? Куба через диагональ? конус через вершину перпендикулярно основанию?
Естественные науки
Почему моменты инерции стержня и круга равной массы и радиуса (длины) не равны
Наталья Курьян
104
На первый взгляд действительно так.
Диск можно представить как сумму элементарных круговых поясов. Если масса элементарного пояса диска равна массе элемента длины стержня и расположены они на одинаковом расстоянии r от оси вращения, то mr^2=mr^2. Интегрируя от 0 до R=L(длина стержня) вроде бы должны получить одинаковый результат?
Но дело в том, что элементы длины стержня в любом месте имеют одну и ту же массу, а у диска масса элементарного пояса зависит от радиуса. Стержень пришлось бы делать неоднородным, чтобы приравнять моменты инерции стержня и диска.
Диск можно представить как сумму элементарных круговых поясов. Если масса элементарного пояса диска равна массе элемента длины стержня и расположены они на одинаковом расстоянии r от оси вращения, то mr^2=mr^2. Интегрируя от 0 до R=L(длина стержня) вроде бы должны получить одинаковый результат?
Но дело в том, что элементы длины стержня в любом месте имеют одну и ту же массу, а у диска масса элементарного пояса зависит от радиуса. Стержень пришлось бы делать неоднородным, чтобы приравнять моменты инерции стержня и диска.
А не надо по аналогии, надо по определению. Проинтегрируй свой диск, потом проинтегрируй стержень - получишь разные величины (по моим прикидкам у стержня должно быть в 2п раз меньше момента, но это так, вангование). Но если хочешь по аналогии - задайся вопросом, какая у твоего стержня и диска плотность.
Talant Akylbekov
94 764
Интегрировать для вычисления момента инерции надо не только по R, но и по φ (полярному углу). А вот тут-то и выползает разница между диском и стержнем. Диск - сплошной, и тут выползает 2пи. А стержень - нет, в нём по углу фактически дельта-функция, и интеграл - 1.
Ольга Чабаева
92 692
Приведённая вами ф-ла для диска подразумевает одинаковость толщины и однородность последнего. Но если каждый элемент стержня той же массы и длины, равной радиусу или диаметру (по вашему вкусу) диска, "распластать" по соответствующим окружностям, то нетрудно сообразить, что новый диск получится не одинаковой толщины - чем дальше от оси вращения, тем тоньше. Аналогия сильно нарушится...
Александр Акулов
85 859
во-первых, путаешь окружность с диском.
Ваще нелогичное сравнение. У диска центр масс находится на оси вращения. у стержня - на расстоянии l/2 от .нея. А выводы формул можно посмотреть здесь
https://ru.wikipedia.org/wiki/Момент_инерции. в разделе "Осевые моменты инерции некоторых тел.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Момент_инерции. в разделе "Осевые моменты инерции некоторых тел.
Похожие вопросы
- Если масса есть мера инертности при поступат. движении, а мерой инертности при вращат. движении есть момент инерции ?
- Почему лампочка испуская видимый свет не греет как солнце, ведь длина волны видимой равна, а светодиоды вообще не греют
- Почему в полете вес самолета не равен его массе?
- физика. какова физическая природа момента инерции и отличие от массы
- Момент инерции Как выводится формула момента инерции сплошного цилиндра: I = m(R2/4 + h2/12)
- МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ФИЗИКА
- Почему силы инерции возникают при изменении скорости движения и изменении траектории ???
- Может ли тело иметь ускорение, в момент когда его мнгновенная скорость равна нулю?
- Маховик с моментом инерции J разгоняется моментом силы М
- Почему некоторые говорят, что в невесомости "нет массы", если там нет силы притяжения, являющейся причиной массы и веса?
А насчет плотности - действительно, при распределении стержня на диск по окружностям получится, что ближайшие области к оси вращения придется делить на меньшее число частей, а значит, такой диск будет плотнее к центру при той же массе. Если же взять диск и "сложить" его массу в стержень по той же идее, получится, что плотность будет сосредоточена дальше от оси вращения.
В какой то мере вы меня спасли от ошибок, спасибо. Однако, я все равно не знаю, что делать, ибо слишком не хочется вырисовывать крючки интегралов при решении.)