Как выводится формула показательной формы комплексного числа?

вот эта что ли?
exp(ix) = cosx + isinx
так в ряд Тейлора раскладываешь exp, дальше группируешь члены ряда с i и без него. получишь синус и косинус

Она не столько выводится, сколько постулируется. То есть ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ exp(iф) = cos ф + i sin ф. Кроме того, достаточно просто преобразовать любое комплексное число в виду модуль умножить на пару (a + ib), причём a² + b² = 1 (если за модуль, опять же по определению, принять вещественное число, равное корню из суммы квадратов вещественной и мнимой части) . Но всякие два вещественных числа a, b, сумма квадратов которых равна 1, можно интерпретировать как косинус и синус некоторого угла. Ровно так же любое положительное вещественное число (которое у нас модуль) можно считать экспонентой от некоторого другого вещественного числа. Вот так и получается, что любое комплексное число, если его представить в виде произведения модуля на пару (a + ib), можно представить и в виде произведения вещественной экспоненты на мнимую (см. самое первое определение) . А произведение двух экспонент есть экспонента от суммы показателей.

это и есть формула эйлера!

Мы не шар в вышмате. Но у Леонарда Эйлера есть труд "Комплексные Числа. " Подробно этот труд изложен в книге Calculus . Советую прочитать . Но насколько Мы знаем, эта энциклопедия на русский язык не переводилась.
Удачи...