Происходит ли электролиз, если вода дистиллированная?

В принципе - да, но очень и очень медленно. Дистиллированная вода очень плохо проводит электричество.

Естественно. Вода, все-таки, немного электролит. Даже в идеально дистиллированной воде содержится некоторое количество ионов водорода и гидроксид-ионов. Ну, а идеально дистиллированной воды не бывает. Кроме того, существует такое понятие, как пробой диэлектрика. Если создать между электродами разность потенциалов в десяток-другой киловольт, то наш диэлектрик превратится в проводник (электролит), и электролиз пойдет, ИМХО, очень и очень бодро.

у воды есть своя константа диссоциации. Так что даже самая дистиллированная вода чуть-чуть проводит ток...

Нет.

Дело не в медленно или быстро - это зависит от тока, который вы используете, а в том, что в дистиллированной воде будет достаточно высокое сопротивление между электродами и для получения требуемого тока может потребоваться гораздо более высокое напряжение, большая часть которого затратится на преодоление омического сопротивления электролита (воды).
По мере протекания электролиза (при выделении водорода на катоде и кислорода на аноде) приэлектродные слои электролита будут, соответственно, подщелачиваться и подкисляться и это приведёт к снижению сопротивления раствора и при постоянстве напряжения на эл-дах - к росту скорости процесса...

Есть мнение основанное на не моих экспериментах, что если один электрод железный, а второй из напиленных пластин от угольного фильтра для осмоса, то электролиз идет активно, но в рез-те вы получаете водород и ПЕРЕКИСЬ ВОДОРОДА! на железном электроде (полярность не помню), но важно использовать очень качесственную дист. воду! Водород, выделившийся в рез-те такого электролиза выделит тепла (плюс тепло от разложения перекиси на катализаторе), примерно в 100 раз покроет изначальные затраты эл-ва на электроиз! Сам не проверял, но собираюсь, пока не могу найти такой уголь (этот уголь по доброй воле не смачивается водой). Кстати эта тема является разновидностью экспериментов по хол. яд. синтезу, хотя не имеет к нему прямого отношения.. К сожалению информацию получил от источника, который "жмет" инфу, иначе рассказал бы всё что знаю..