Можно ли вычислить энергию, затрачиваемую на поддержание объекта на одной и той же высоте, против земного притяжения?

При этом затраты энергии равны нулю.

С формальной физической точки зрения работа по удержанию массы на постоянной высоте равна нулю. Но есть еще физиология мышц. Для поддержания мышцы в сокращённом состоянии требуется определенный расход энергии, взятой в конечном счете от переработанной пищи. Какова величина этой энергии - вопрос к физиологам. Может быть, это непростой вопрос.

Можно.
Но в каждом конкретном случае по-своему.

Можно конечно. Если высота не изменяется затраты энергии равны нулю

зависит от способа держания. Но приблизительно посчитать можно. например положить что кота поднимаешь. Тогда по общеизвестным формулам. Работа равна силе умноженной на расстояние.

Именно такой величины нет. Т. к. в зависимости от массы условий у вас возможны разные затраты энергии.
Так, если коту надоест ваше общество, он может толкнуть вас лапой сообщив первую космическую скорость параллельно земной поверхности - и вы будете вечно вращаться вокруг земли без каких либо доп. подталкиваний.
Но, есть велечина, хорошо вам известная как вес - это сила, с которой Земля притягивает вас, а вы - Землю. Так вот, на уровне мирового океана, на широте в 60° чтобы удерживать вашего кота массой 4 кг, нужно уравновесить его вес 4·9,8072 Н.
А вот теперь - в зависимости от выбора способа уравновешивания и его скорости относительно земной поверхности вы и получите нужную энергию.
Так - если кота просто поставить на землю - то очевидно, что затраты энергии равны нулю.
Но если подвесить кота на на летательном аппарате, то уже нужно затратить энергию.
В общем ваш вопрос в текущей постановке лишен смысла.