Куда идёт энергия, затрачиваемая на поворот оси вращающегося маховика ?

Сила*перемещание*косинус (угол между первым и вторым) = работа (а не энергия).
В вашем случае косинус равен нулю.

Стенка тоже сопротивляется, если на нее давить. Но никакой энергии при этом не тратится, так как работа силы равна нулю.

ну во первых не энергия а работа, а во вторых после вашего воздействия появится прецессия маховика то есть дополнительное движение вот в него и пошла совершенная работа
энергия то у этой прецессии тоже есть

Лучше всего Ваш опыт перевести на 2-х степенной гироскоп. Здесь ПОРЦИОННОЕ воздействие на платформу гироскопа соответствует УГЛУ поворота вращения гироскопа в пространстве. Иначе говоря 2-х степенной гироскоп реагирует не на величину, а на СКОРОСТЬ воздействия. 2-х степенной гироскоп так и называется датчиком угловых скоростей. Он применяется во всех автопилотах. Ваш опыт с волчком требует много времени и места, чтобы описать все механизмы. Представьте ДВЕ камеры, соединённые КАПИЛЯРОМ. Величина ВОЗДЕЙСТВИЯ выравнивания давления зависит от диаметра капиляра. У вращающих тел всегда есть Энергетическая ПЛОСКОСТЬ как ЭКПЛИКТИКА планет солнечной системы. Поэтому Ваша энергия воздействия на волчок УХОДИТ на выравнивания плоской энергии волчка с энергией притяжения. После выравнивания энергий, волчок вернётся в исходное положение. Так работают барометрические приборы в авиации (точнее их называют анероидно-мембранные приборы).

Чудеса с волчками требуют ума Ковалевской.
http://www.youtube.com/watch?v=V7hGcLU_wlY
Энергию затратят ваши пальцы на смещение оси ВАШЕГО гироскопа. Ровно столько он получит для прецессии оси вращения