Что общего у заряда и спина? Это одно и тоже, только имеют разные направления?

Это разные вещи.
Общее у них только то:
1. эти характеристики могут передаваться от одного тела к другому.
2. существуют законы сохранения заряда и момента вращения.
3. И момент вращения и заряд квантуются.

При правильной постановке вопроса они оба могут породить магнитный момент.
Спин - вектор, заряд - скаляр. Но из-за принципиальной сложности измерений весь вектор измерить нельзя, можно только проекцию на одну ось и квадрат.
Еще они участвуют в законах сохранения, только спин это слагаемое в моменте импульса.
Они оба квантуются константами. Самая главная связь в этом, да?

Спин - это собственный момент импульса электрона, от заряда он не зависит.

Нет, не одно и тоже. А давайте к формулам обратимся, без сложных выкладок. Спин тип частицы, симметрийные свойства определяет. Цепочка обобщений была такая - спин, изоспин, цвет и прочее уже в КХД. Появилась одна и самых красивых формул в физике - формула Нисидзимы: Q = Iz + 1/2(B+S+...). Слева заряд, справа - изоспин, барионное число и странность (в сумме гиперзаряд Y, на самом деле там и другие квантовые числа позже были добавлены). Барионное число соответствует составной структуре объектов, а изоспин определяет количество зарядовых состояний, спин - степени свободы состояний, которые НЕ связаны с перемещением в 4мерном пространстве-времени (т. е. орбитального движения оказалось не достаточно для объяснения магнитных свойств фермионов, позже было осознано, что и классическое вращения вокруг оси тоже к успеху не приводит, там принципиально иное движение). Вот это очень сильный момент, на который программа геометризации физики напирает.
Спин (а точнее изоспин, цвет) тип частицы задает (например, будет она фермионом или бозоном не от заряда зависит), типом и определяется степень участия во внешних взаимодействиях.

объединяет их только электрон

Что общего у холодильника и белого цвета? Ваш вопрос аналогичен.