Может ли звезда существовать как спутник?

да, в двойной системе вращение происходит вокруг общего центра масс (барицентра) если одна звезда намного масивней другой то теоритически барицентр может находится в пределах масивной звезды, выходит что звезды не вращаются друг против друга а выходит что одна звезда вращается вокруг другой

Да, может. Это называется "двойной системой" или "двойной звездой". Две звезды (равных или неравных масс) вращаются вокруг общего центра масс. Системы такие считаются неустойчивыми и недолговечными (сравнительно).
Кроме того, все известные звезды являются фактически спутниками своих галактик.

почитай про Сириус

Начнем с того, что ни одна планета не вращается вокруг звезды. Что в планетарных системах, что в кратных звездах вращение происходит вокруг общего центра масс. Просто планеты намного менее массивны, чем звезды, поэтому центр масс планетарных систем находится под поверхностью звезд. Вопрос, таким образом, сводится к следующему: может ли существовать такая система из двух звезд, центр масс которой расположен под поверхностью одной из них?
Насколько сейчас известно, самые легкие звезды легче самых те желтых примерно на два порядка. Снизу масса звезды ограничена пределом, ниже которого давление в центре не позволяет инициировать термоядерную реакцию, сверху - чрезвычайно малым временем жизни сверхмассивных звезд. Теоретически, этого достаточно для того, чтобы центр масс системы, состоящей из какого-нибудь красного карлика и голубого сверхгиганта располагалась под поверхностью последнего. Но формирование такой системы было бы крайне маловероятным - из-за существующих в таких системах динамических неустойчивостей, куда вероятнее, что вместо красного карлика сформируется протопланетная туманность. Остается только вариант, когда гравитационное поле гиганта захватывает уже сформированный карлик. Но и в этом случае вращение будет не в точности таким, как с планетами: гигант всё равно будет заметно "качаться".

это как раз именно по типу двойных звезд

Не научный ответ: Это смотря какую гипотезу применить. По науке может, а по моей - нет. В чем разница? По науке звезда образовалась из пыли и газа, а по моему она отделилась от еще более массивного тела: черной дыры.