Мальчик подбросил мяч массой 0,5 кг на высоту 4м. Какую кинетическую энергию передал он мячу? ?

Ровно такую, чтоб она при взлете перешла в потенциальную mgh, причем полностью, если бросал вертикально.

Рассмотрим систему, состоящую из одной материальной точки, и запишем второй закон Ньютона:

m a → = F → . {\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}.}

F → {\displaystyle {\vec {F}}} — есть равнодействующая всех сил, действующих на тело. Скалярно умножим уравнение на перемещение материальной точки d s → = v → d t {\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t} . Учитывая, что a → = d v → d t {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {{\rm {d}}{\vec {v}}}{{\rm {d}}t}}} , получим:

d ( m v 2 2 ) = F → d s → . {\displaystyle {\rm {d}}\left({{mv^{2}} \over {2}}\right)={\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}.}

Если система замкнута, то есть внешние по отношению к системе силы отсутствуют, или равнодействующая всех сил равна нулю, то d ( m v 2 2 ) = 0 {\displaystyle d\left({{mv^{2}} \over {2}}\right)=0} , а величина

T = m v 2 2 {\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}}

остаётся постоянной. Эта величина называется кинетической энергией материальной точки. Если система изолирована, то кинетическая энергия является интегралом движения.

Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

T = m v 2 2 + I ω → 2 2 , {\displaystyle T={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {{\mathcal {I}}{\vec {\omega }}^{2}}{2}},}

где:

m {\displaystyle \ m} — масса тела

v {\displaystyle \ v} — скорость центра масс тела

I {\displaystyle {\mathcal {I}}} — момент инерции тела

ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} — угловая скорость тела.
Согласно специальной теории относительности между массой и энергией существует связь, выражаемая знаменитой формулой Эйнштейна
E = m c 2 {\displaystyle ~E=mc^{2}}
где E — энергия системы, m — её масса, c — скорость света в вакууме. Несмотря на то, что исторически предпринимались попытки трактовать это выражение как полную эквивалентность понятия энергии и массы, что, в частности, привело к появлению такого понятия как релятивистская масса, в современной физике принято сужать смысл этого уравнения, понимая под массой массу тела в состоянии покоя (так называемая масса покоя), а под энергией — только внутреннюю энергию, заключённую в системе.