Колебания. Гармонические колебания.

У математического маятника возвращающей силой является тангенциальная составляющая силы тяжести (показана стрелками для трех положений). Как видно, она также пропорциональна смещению (длина стрелки меняется) и все время направлена к положению равновесия (точке С).

у математического ровно то же самое. посмотрите на уравнения - они одинаковы.

Колебания - процесс. Маятник - устройство, в котором этот процесс происходит (осциллятор/колебательная система).
Пружинный маятник - реальный осциллятор. Математический - абстрактный (несуществующий в реальности) осциллятор, предназначенный для математического описания процесса колебаний.

У тебя там где-то написано должно быть, что в случае математического маятника ты рассматриваешь только малые колебания. И, видимо, свободные, без затухания и прочей фигни.

Вот тогда у тебя зависимость физ. величин от времени синусоидальная получится, а колебания - гармоническими. И дифференциальное уравнение у пружинного маятника и математического одинаковое, с точностью до замены буковок в формуле.

Это для любого маятника.
Даже для атомов вещества и планет Солнечной системы.

1) Гармонические колебания и колебания математического маятника - не одно и то же!

Гармонические колебания - это синусоидальные движения, являющиеся решением уравнения вида
d^2x/dt^2+(omega^2)*x=f(t)

Колебания математического маятника - это решения уравнения (отличие - в sin(x) вместо x):
d^2x/dt^2+(omega^2)*sin(x)=f(t)

Соответственно, только МАЛЫЕ колебания математического маятника (когда можно приблизительно заменить sin(x) на x) являются ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО гармоническими.

2) Пружинный маятник, если считать трение нулевым, а закон упругости абсолютно линейным, дает идеально синусоидальные колебания. Но на практике закон упругости далек от линейного, а также существует еще множество вмешивающихся факторов.

3) Идеальный гармонический осциллятор - это вообще-то объект в потенциальной яме квадратичного профиля. Например, если сквозь центр шара (планеты) просверлить прямой тоннель (т. е. по диаметру шара) и бросить в него тело, то под действием гравитации между этим объектом и шаром колебания тела в тоннеле будут чисто гармоническими.