Почему колебания нитяного маятника при большой амплитуде нельзя считать гармоническими?

Длина нити зависит от нагрузки

Вопрос свидетельствует о том, что автор не удосужился поинтересоваться, что такое гармонические колебания, чему равна "возвращающая сила" при отклонении "нитяного" маятника...

Потому что при малых углах sin(x)~x, и подстановкой этого икса в уравнение колебаний маятника можно получить решение вида x=A*sin(w*t+k). Если оставить синус в уравнении как он есть, то решение будет более сложным и элементарно не выражающимся.

Собственно, такое уравнение, раз о нем зашла речь, будет в общем виде выглядеть так: x”+a*sin(x)=f(t)

Ошибаешься!
При большой амплитуде он ё* упадет с верхней полуокружности с провисом нити. Это не колебания вообще.
С очень большой энергией будет солнышки наворачивать, если это и колебания, то с натяжкой, но по-любому не гармонические.
Со средней - нельзя.
А с маленькой - можно.

Шутка.

Условно, малыми колебаниями математического маятника называют такие, для которых и решение линеаризованного ДУ сойдет - т. е. возвращающую силу можно принять прямо пропорциональной отклонению маятника от положения устойчивого равновесия.
Ну а большие - это такие, которые не малые.
Как-то так...

Гораздо интереснее обратный вопрос -- почему их можно считать гармоническими при малой амплитуде колебаний.

Вкратце -- при малой амплитуде колебаний усилие, возвращающее груз к равновесному состоянию, пропорционально смещению от положения равновесия (и имеет обратный знак, конечно).

В нижней точке (при отклонении 90 град) на подвес действует сила в 3 веса маятника, длина меняется, но колебания очень близки к гармоническим