Какую силу тока дает батарейка AA, при режиме работы?

Такую, какую потребляет подключенное устройство...
А вот предельно допустимая сила тока написана на батарейке.

Некоторую.

От потребляемой мощности устройства зависит.

Есть такие понятия как "вольт-амперная характеристика" и "разрядная кривая", короче, чтобы не умничать - чем больше нагрузка (ток), тем меньше времени проживет элемент.
Самый большой ток - при коротком замыкании.
https://geektimes.ru/company/madrobots/blog/243377/

Потребители таких батарей не высасывают больше 300 мА*ч, обычно тянут десятки мА*ч, это же маломощные гальванические источники.

Солевые, желательно, не более 0.11 А, редко какие 0.15. Щелочные, имеющие емкость 1.6-1.8 Ач, можно нагружать до 0.75 А, литиевые до 1.1 А. Дальнейшее увеличение нагрузки нежелательно, иначе батарейки отдадут заметно меньшую емкость. Советским солевым батарейкам, имевшим емкость меньше современных щелочных всего в два, а не в пять раз и хорошие нагрузочные характеристики, можно было смело давать нагрузку 0.35 А без потери емкости. Интересно, что советские щелочные батарейки, емкостью в полтора раза больше солевых того времени, были рассчитаны на меньшую нагрузку, но длительную работу в магнитофонах, приемниках и т. п. Поэтому такая техника всегда проектировалась под батарейки побольше, пальчиковые использовались чаще всего в миниатюрных приемниках и фонариках, а мизинчики в основном только в слуховых аппаратах и почти нигде не продавались.

1. Правильное название "элемент", так как там только одна гальваническая пара.
2. "АА" это только размер. "size". Смотреть надо маркировку: LR6 или R6. LR6 имеет большую ёмкость. Но надо понимать, что на механической игрушке даже LR быстро "сядет" и энергии хватит на фонарик или пульт от ТВ. Элементы дешевле всего в магазинах "Магнит".