Какая скорость электрона когда он вращается вокруг ядра атома.

Он не вращается, деточка. Планетарная модель атома отвергнута как несостоятельная еще в начале прошлого века...

то, что электрон вращается вокруг ядра, всего лишь теория, придуманная для наглядности

он находится везде, ведет себя как волна, и показывает себя как частица только когда взаимодействует с прибором измеряющий его положение

Все не так просто.
На основе квазиклассического приближения (которое подразумевает, что электрон вращается вокруг ядра но квантуется его энергия и момент количества движения) можно вычислить постоянную Ридберга с помощью которой вычисляются частоты и длины волн линейчатых спектров водородоподобных атомов. См, например, ф-лу Бальмера и Лаймана.
Rтеор = 109 737,303 1/см
тогда как величина R, эмпирически найденная из точнейших спектроскопических измерений, есть
Rэксп= 109 677,581 1/см.
Совпадение теоретически вычисленного и экспериментального значений R настолько близко, что оно не оставляет сомнений в правильности найденной Бором формулы для уровней энергии водородоподобных атомов.
В действительности это совпадение лучше, чем может показаться при непосредственном сравнении теории и эксперимента. Дело в том, что эти два значения в сущности между собою несравнимы, так как при выводе формулы для Rтеор сделано одно допущение, не оправдываемое точностью современных спектроскопических измерений.
А именно, предполагается, что ядро водородоподобного атома неподвижно, тогда как по законам механики следует рассматривать движение электрона и ядра около их общего центра (как и для Солнца и планет) инерции. Допущение неподвижного ядра было бы оправдано лишь в том случае, если бы массу ядра можно было считать бесконечно большой по сравнению с массой электрона.
В действительности же отношение массы водородного ядра к массе электрона равно
Мн/m — 1836
Для точного решения задачи о двух телах в формуле Rteor вместо массы электрона необходимо ввести поправочный коэффициент, учитывающий движение электрона и ядра около их общего центра (как и для Солнца и планет) инерции – 1/(1+me/M), где me- масса электрона, M- масса ядра (масса протона для атома водорода)
Rновое = Rteor/( 1 + me/M ) = 109 737,303/(1 + 1/1836) = 109677.565 1/см.
Если сравнить эту новую величину с экспериментальным значением Rэксп= 109 677,581 1/см.
то видим практически совпадение.
Значит планетарная модель не так уж и плоха. и ее можно использовать для расчета
Продолжение смотрите в комментарии