Так звезды остывают или коллапсируют до черной дыры?

всё зависит от размеров звезды. Маленькая (меньше Солнца или как Солнце) просто остынет, Если раза в два больше - в нейтронную звезду превращается, а если очень большая, то в чёрную дыру превратится

Звезды не "остывают", потому что их никто не "нагревал". А биографии у них бывают разные - все зависит от массы, плотности, возраста, и окружающей обстановки.

Всё зависит от массы звезды. Наше солнце недостаточно тяжелое, чтобы раздавить саму себя в чёрную дыру, поэтому к концу жизни станет гигантским алмазом размером около нашей планеты, остынет и перестанет светить. Более крупные звёзды достаточно массивные, чтобы преодолеть прочность атомов и раздавить себя в нейтронную звезду, пульсар или магнетар. Чтобы стать черной дырой звезда должна быть реально тяжелая, тогда при очередном взрыве сверхновой произойдет имплозия, давление нейтронной жидкости будет сломлено, и звезда окажется раздавленной своей собственной тяжестью, ядро её будет падать внутрь себя пока не превратится в объект с нулевым объёмом - материальную точку, в которой сосредоточена вся масса ядра звезды. Это и будет коллапсар или черная дыра звёздной массы. Если поблизости будет много материи, то чдзм будет её поглощать и расти, пока не превратится в сверхмассивную черную дыру. СМЧД достаточно мощная в плане гравитации, чтобы формировать вокруг себя новую галактику, а пара смчд формируют спиральные галактики, вроде нашего Млечного Пути или Туманности Андромеды. Мы живём пока падаем в Лебедь А - пару смчд в центре млечного пути.

всё зависит от массы звезды. Звезда может как и сжаться до нейтронной звезды, либо чёрной дыры, так и потихоньку остывать, пока не израсходует всё топливо.

И коллапсируют и нет. Все от звезды зависит. Некоторые особо массивные и вовсе в клочья разрывает без следов и остатка в виде центрального тела... одна туманность остается.
И остывают в том числе, только этот процесс оооочень долгий.
Никакого алмаза на месте Солнца не будет... останется после него белый карлик чрезвычайной плотности.

Чёрная дыра - это настоящая дыра в космической мембране между Миром и Антимиром.