Можно ли рассчитать в какой жидкости металлический шар будет падать с постоянной скоростью? плотность? вязкость?

Я, учась в институте, занимался этой задачей (преподаватель по физике предложила рассчитать это, хотела вместе со мной сделать новую лабораторную) и пришёл к выводу, что постоянной скорость не станет никогда, но она будет асимптотически стремиться к какой-то постоянной. Сейчас воспроизвести эти выкладки с ходу не смогу - прошло уже больше тридцати лет, надо вспоминать теорию. Но результат был именно такой, и ошибки преподаватель у меня не нашла.
Рекомендация: считать скорость постоянной с какого-то момента, когда она перестаёт существенно изменяться.

решить соответствующее дифференциальное уравнение

можно, сила притяжения постоянная, и вполне очевидно что у неё должна быть разная плотность так ка шар будет стремится ускорится и вязкость должна увеличиваться пропорционально ускорению. Это скорее всего какая-нибудь не ньютоновская жидкость.

Металлический шар в ЛЮБОЙ жидкости будет рано или поздно будет падать с постоянной скоростью. И в газе - тоже шар после набора некоторой скорости будет падать с постоянной скоростью.

Шар не будет падать в жидкости с постоянной скорость (как и любой другой) в случае если удельный вес жидкости больше удельного веса материала шара (шар сплошной). Шар будет плавать на поверхности.

Рассчитать проще простого. На шар действует сила притяжения Земли.
При движении в жидкости на шар действует сила сопротивления. Причем в ее формуле единственной переменной величиной будет скорость движения. (Скорость выше - сопротивление выше, и наоборот.)
Приравниваем силу тяготения к силе сопротивления, решаем уравнение относительно скорости. И вуаля!

в любой - после набора максимально возможной в данной среде

Да можно