До какой скорости масса протона будет приблизительно равна его массе покоя?

Упраздненная "релятивистская" масса равна массе только при нулевой скорости.
Приняв с = 1, разложим mᵣ/m в ряд Маклорена в окрестности нуля, получим
1 + v²/2 + O(v⁴).
Хочется отметить, что член v²/2 соответствует кинетической энергии тела в классической механике.

Таким образом, при v = 0,1c имеем приближенную оценку mᵣ ≈ 1,005m
При v = 0,01c имеем приближенную оценку mᵣ ≈ 1,00005m
При v = 0,001c имеем приближенную оценку mᵣ ≈ 1,0000005m

Смотря насколько приблизительно

Откорректирую вопросик, можно?

КИНЕТИЧЕСКАЯ энергия протона равна его энергии ПОКОЯ, когда полная энергия протона в 2 раза больше его энергии покоя.
А полная энергия массивной частицы подсчитывается по формуле:
E = E0/sqrt(1 - v^2/c^2)

Откуда 1 - v^2/c^2 = 1/4, v = sqrt(3)/2 * c ~= 0.866c. Чтобы каждый раз не вычислять, берем из таблички.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Лоренц-фактор

Масса от скорости не зависит. Это величина Лоренц-инвариантная. Масса протона всегда и везде одна и та же.

В современной терминологии термин "масса" применяется в значении "инвариантная масса" или "масса покоя", являясь полностью эквивалентным им по смыслу. В некоторых ситуациях (особенно в популярной литературе) это, однако, уточняется явно, чтобы избежать путаницы из-за понимания термина масса в другом - устаревшем - смысле.

В большом количестве источников, относящихся к началу и середине XX века, а также в научно-популярных, нынешнее понятие массы называли "массой покоя", при этом саму массу вводили на основе классического определения импульса. Такой подход был распространён в течение длительного времени, однако в современной научной литературе используется редко, так как вносит дополнительную путаницу в терминологию, не давая никаких новых результатов.

Так что задавшему тебе тот вопрос можешь смело отвечать: уже не ХХ век, дядя. Уже давно масса считается независящей от скорости.