Задача на геометрическое построение. Внутри угла DВЕ проведён луч BG и отмечена некоторая точка F. Найти на DВ и ВЕ...

Поскольку F - середина АС, то BF - медиана треугольника АВС. Она рассекает этот треугольник на два равновеликих: ABF и FBC. С другой стороны площадь ABF равна (1/2)*АВ*BF*sin(ABF), а площадь FBC равна (1/2)*BF*BC*sin(FBC). Приравнивая эти площади и сокращая на (1/2)*BF, получим, что AB*sin(ABF) = BC*sin(FBC), т. е. стороны треугольника обратно пропорциональны синусам углов, на которые угол между этими сторонами делит медиана из вершины этого угла. Перепишем это равенство в виде АВ: ВС = sin(FBC):sin(ABF). Нам нужно построить отношение справа, для чего опускаем из F перпендикуляры FP и FQ на стороны BD и BE соответственно. Из соответствующих прямоугольных треугольников (PBF и QBF) видно, что отношение этих перпендикуляров равно требуемому отношению.

Теперь на BD строим произвольную точку A1, а на BE - точку C1 так, что A1B:C1B равно построенному соотношению (стандартная задача). Треугольники A1BC1 и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними. Значит A1C1 параллельна AC. Отсюда и вытекает способ построения: строим прямую, проходящую через F и параллельную A1C1. Она пересечёт BD и BE в нужных точках A и C.

Рисунок, может и не совсем удачен, но более-менее поясняет сказанное.

Предлагаю вариант решения:
Проводим через Эф параллельно ВД, через точку пересечения Ж1 ещё прямую Ж1М параллельно ВЕ. Также через точку ЭФ проводим прямую параллельно ВЕ, получим точку Жэ.
Достраиваем до параллелограмма, диагональ, проходящая через точки Эф и ЭФ2 - искомая прямая АС.