Как называется эта сила?

E = mv^2/2 - кинетическая энергия
E = m ∫vdv
E' = mv =∂E/∂v
то есть вы берете производную от E по v
и у вас штрих означает производную по v.
***
По сути вы просто бездумно приравняли формулы, которые вы знаете. почему бездумно? потому что записаны они математически неграмотно и не несут в себе никакого особого смысла.
с другой стороны, вы выполнили полезные для себя действия.
Сделайте всё то же самое, только в каждом действии нужно писать пояснение, что это за сила или энергия. какие величины постоянные, какие переменные и от чего они зависят, какой их смысл. зачем вы берете производную, тем более по скорости, что вам это дало. и самое главное: где у вас находится тело? что оно делает? какие силы на него действуют. когда берете интеграл, нужно правильно выписать границы интегрирования.
***
формула g = F/m справедлива только, когда F=gm. Вы сами ответьте на вопрос, какой смысл силы в этой формуле. Как этот смысл изменится, если вы эту силу выразите еще через какие либо характеристики движения (через ∫vdv) ?
ну и какой физический смысл выражения ∫vdv ?
Удачи!

Почему из E = mgh
следует Е' = mg'h,
а не Е' = mgh' ?

вывел какую то дурость и радуется, обосравшись 10 раз в выводе) чтобы понять что это херь достаточно проверить размерность конечного результата, ну и убедится что они не сходятся. пару ошибок видно ленивым глазом, например после
gh = ∫vdv
идет
gh = s - это вообще что?
не говоря о том что + С забыл при решении дифура так еще и размерности перестали сходится уже здесь.
ПЫ. СЫ.
s(если это путь или расстояние) все таки интеграл от скорости по времени, а не по скорости, т. е.
s=∫vdt а не ∫vdv

это только перельман тебе ответит

Академики с серьезным видом обсуждают простейшие ошибки парнишки не понявшего ни физики, ни математики. Причем почему-то каждый видит только часть ошибок. Или не хотят обижать предшественников. Тогда Замятин самый хитрый. Хотя может по последним данным науки g не обязательно 9,8.

Закон, который вы использовали, называется вторым законом Ньютона, а не первым.

Вас не смущает, что в вашей формуле силы разные размерности?