При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?

Левая часть:
1) Определена на [0, 2a], a >= 0
2) Становится четной функцией y после замены y = x - a, значит, если ваше уравнение имеет ровно один корень, то он равен a.
3) Строго вогнута (пузиком вверх) как сумма функций, обладающий тем же свойством, следовательно, с учетом 2), строго возрастает [0, a] и строго убывает на [a, 2a]

Отсюда ваше уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда a - корень уравнения. Подставляем x = a в уравнение, получаем 2sqrt(a) = a, откуда a = 0 или a = 4. Оба значения нам подходят...

PS. И вот вам поиграть - https://www.desmos.com/calculator/ag5we02f2x

Вот другое решение - может быть, несколько "длиннее", но, на мой взгляд, более понятное нам с вами - нематематикам:
1) Нетрудно установить, что а неотрицательна.
2) Возводим в квадрат обе части равенства. После упрощений получаем: √(2ах-х^2)= а^2/2-а (1).
3) Делаем то же с (1). Получаем: х^2-2ах+(а^4/4-а^3+а^2)= 0.
4) Чтобы корень был единственным, дискриминант а^2-а^4/4+а^3-а^2 приравниваем нулю: а^3-а^4/4= 0.
5) Решая последнее равенство относительно а (с учётом неотриц-ости а), получаем а1= 0, а2= 4.

Мое решение универсально для ВСЕХ ур такого вида
f(x)^1/2 +-g(x)^1/2=f(a) Замена
x^1/2=U>=0
(2a-x)^1/2=V>=0
a>=0
СИСТЕМА
U+V=a
U^2+V^2=2a
a^2-2U*V=2a
2*U*V=a^2-2a
2V^2-2aV+ (a^2-2a)=0
D=0- одно реш
D=a^2-2a^2+4a=0
a=0
a=4