Естественные науки

Решение уравнения в рациональных числах.

Здравствуйте, есть вопрос по довольно интересной математической задаче. Как доказать, что уравнение: x^2+y^2+z^2=7 не имеет решений в рациональных числах. (x,y,z)-рациональные числа. Эту задачу можно интерпретировать так: a^2+b^2+c^2=7*q^2 (a,b,c,q-целые числа, причем q не равно 0). Пытался решать методом остатков от деления на 3,4,7,8 и cтепени двоек. Потом пробовал составлять уравнения для последних цифр, и даже для предпоследних цифр. Пытался что то мутить с формулами (a+b+c)^2 ; (a+b-c)^2 и тому подобные. Но все равно все фатально. Может тут что то про минимальную разность между двумя соседними тройками сумм квадратов целых чисел. Но что то как то додумать не могу. Была еще идея составить кубическое уравнение сумма квадратов которого равна 7. Но тоже, что то пока не выходит. Может я упустил из виду какую-то известную теорему, которую нужно знать для решения такой задачи.
Алексей Наумов
Алексей Наумов
819
x² + y² + z² = 7*q²

Исследуем остаток деления на 4 квадрата чётного и нечётного числа
(2a)² = 4a² = 0 (mod 4)
(2a + 1)² = 4a² + 4a + 1 = 1 (mod 4)

7 * 4n = 28n = 4 * 7n
7 * (4n + 1) = 28n + 7 = 4*(7n + 1) + 3

Таким образом равенство возможно только если x, y и z нечётные числа, или наоборот если они все чётные. Но если они все чётные, то мы можем всё равенство поделить на 4, и получить случай, когда все нечётные, потому рассмотрим только этот вариант

теперь проверим остатки деления квадрата нечётного числа на 8
(4a + 1)² = 16a² + 8ab + 1 = 1 (mod 8)
(4a + 3)² = 16a² + 24ab + 9 = 1 (mod 8)
Итак, квадрат нечётного числа (коими являются все неизвестные в нашем уравнении) всегда даёт отстаток 1 при делении на 8

7q² = 7*(8m + 1) = 56m + 7 = 7 (mod 8)

В итоге посчитаем остатки и получим
1 + 1 + 1 = 7 (mod 8) - что соответственно явное противоречие, а значит уравнение решения в целых числах не имеет

P.S. Сложно было, надеюсь нигде не ошибся :) Перепроверьте короче нет ли у меня в решении необоснованных утверждений :)
Zhalgas Koshenov
Zhalgas Koshenov
42 958
Лучший ответ
Алексей Наумов Понятно теперь. Видимо я ошибся в расчетах, когда проверял остатки от деления на 8. Даже удивительно как то. Про то, что надо рассмотреть вариант только с нечетными было понятно давно, но что то не получалось никак с остатками от деления на 8. Теперь понял что сделал тогда ошибку когда то. Где сделал уже не вспомню, потому что давно рассматривал остатки от деления на 8. Cпасибо вам огромное за решение! Оказывается все было изначально все очень просто! Даже удивительно, что я отошел от этой идеи и полез в какие то дебри. Благодарю от всей души!
x^2+y^2+z^2=r^2 это сфера радиуса r.
ФХ
Фарид Хамитов
67 199
Алексей Наумов А дальше что?
Алексей Наумов Тут идея точно не в простоте числа 7, а в какой то другой особенности. Но с остатками не получилось. Была идея задать два параметра: p=a^3+b^3+c^3 ; q=a+b+c . Через эти два параметра и x^2+y^2+z^2=7 выражается произведение. Но это как раз идея с кубическим уравнением. Возможно это верное направление, но пока все слишком мудрено.

Похожие вопросы