Решение уравнений теплопроводности и малых колебаний струны-решение уравнения Лапласа, а больших колебаний?

Больших колебаний упругой струны не бывает. Попробуйте оттянуть гитарную струну хотя бы на 10 сантиметров. У вас ничего не получится -- струна оборвётся. Поэтому задача о больших колебаниях именно струны нефизична. Но если всё же такая задача стоит, то нарушатся те предположения, которые делаются для решения задачи с малыми колебаниями -- одинковость напряжения во всех точках струны, и приблизительное равенство синуса или тангенса угла самому углу при малых углах. Тогда надо вводить периодичность (по длине струны) напряжения струны. Но заранее Вы не знаете, какую моду Вы возбуждаете, поэтому период изменения напряжения уже сам по себе -- искомая функция. Без дополнительных упрощений и допущений эту задачу аналитически вряд ли можно решить.

Что касается уравнения теплопроводности, то никакого отношения к уравнению Лапласа оно не имеет. Уравнение Лапласа чисто пространственное уравнение, а теплопроводности -- зависит от времени. Далее, решение уранвения теплопроводности не зависит от того, какой амплитуды тепловая волна будет распространяться в образце. Эта задача принципиально линейная, если свойства образца однородны. Поэтому амплитуда может быть любой. А уравнение малых колебаний -- результат линеаризации, поэтому в общем случае она сильно зависит от амплитуды, т. к. от этого зависит то самое напряжение и его изменение вдоль струны. Это задача нелинейная, а нелинейные задачи редко решаются до конца.