Решение дифференциального уравнения по теме электромагнитные колебания

Если у вас есть функция заряда (только не в колебательном контуре, а на конденсаторе, кто это задание писал?) от времени:
Q = Q(t)
Для заряда имеется уравнение:
Q''(t) + (R / L) Q'(t) + (1 / [L C]) Q(t) = 0
Размерности коэффициентов у вас не указаны... (кто это составлял?). Ну ладно, забиваем на размерности, смотрим на ваше уравнение, и видим, что:
R / L = 12
1 / [L C] = 49
Если известно C, то можно из этих двух соотношений найти L и R:
R = 12 / (49 C)
L = 1 / (49 C)
Решение уравнения ищем в виде:
Q = exp(k t), подставляем в таком виде в уравнение:
exp(k t)'' + 12 exp(k t)' + 49 exp(k t) = 0
берем производные, выносим экспоненту за скобки:
(k^2 + 12 k + 49) exp(k t) = 0
exp(k t) не 0, делим на нее:
k^2 + 12 k + 49 = 0
преобразуем:
k^2 + 2 k 6 + 36 = 36 - 49
слева полный квадрат:
(k + 6)^2 = - 13
возводим в степень 1/2:
k + 6 = (+/-) i sqrt(13)
тогда:
k = - 6 (+/-) i sqrt(13)
И получаем два решения:
Q1(t) = exp(- 6 t) exp( i sqrt(13) t)
Q2(t) = exp(- 6 t) exp(- i sqrt(13) t)
Общее решение:
Q(t) = C1 Q1(t) + C2 Q2(t) =
= exp(- 6 t) [ C1 exp( i sqrt(13) t) + C2 exp(- i sqrt(13) t)]
Начальные условия:
Q(0) = C1 + C2 = Qo (То самое Qo, которое дано: 7 Кл)
J(0) = Q'(0) = (i sqrt(13) - 6) C1 - (i sqrt(13) + 6) C2 = 0
Последние два соотношения решаем как систему уравнений относительно C1, C2:
C1 = (Qo / 2) (1 - i 6 / sqrt(13))
C2 = (Qo / 2) (1 + i 6 / sqrt(13))
Тогда искомое частное решение:
Q(t) = exp(- 6 t) (cos[ sqrt(13) t] + (6 / sqrt(13)) sin[ sqrt(13) t ])
Или:
Q(t) = (7 / sqrt(13)) exp(- 6 t) cos[ sqrt(13) t - arctg(6 / sqrt(13)) ]
От сюда видно:
Амплитуда: (7 / sqrt(13)) exp(- 6 t)
Циклическая частота: sqrt(13)
Частота: sqrt(13) / (2 п)
Период: 2 п / sqrt(13)