Задача по дифференциальным уравнениям

Во-первых, выясним, что дает нам характеристическое уравнение, которое мы записываем на основе нашего дифференциального. Его общий вид для уравнения n-го порядка будет
z^n+a(n-1)z^(n-1)+…+a1z+a0=0
Это многочлен, который, как известно по теореме Виета, имеет n корней.
Согласно теореме Виета его можно записать в виде
(z-z1)(z-z2)…(z-zn)=0
Здесь z1, z2, … zn – корни нашего уравнения.
Нужно теперь выяснить какие это корни.
Корни бывают вещественные и комплексные. Причем если наше уравнение является уравнением с действительными коэффициентами, то все комплексные корни будут сопряжены, т. е. для любого корня типа zk=ak+i*bk найдется корень zm=(zk)*=ak-i*bk.
Кроме того, они бывают кратные и некратные.

Рассмотрим сначала не кратные корни, т. е. все корни разные. В этом случае получим:
а) каждому вещественному корню zk соответствует решение дифф. уравнения в виде обычной экспоненты Exp(zk*x)
б) каждой паре комплексно сопряженных корней ak+i*bk и ak-i*bk соответствует решение типа Exp(ak*x)*[C1*Sin(bk*x)+C2*Cos(bk*x)]. На самом деле это не одно решение, а два независимых – одно экспонента с косинусом, а второе та же экспонента с синусом. Это видно из того, что каждое из них умножается на свою константу C1 или C2. Просто их удобно объединить попарно.
Видно, что среди таких решений нет тех, которые даны в условии. Значит надо искать дальше. А дальше у нас кратные корни.

Если корни кратные. Пусть у нас есть корень кратности m. Т. е. он m раз встречается в решении характеристического уравнения.
а) если этот корень zk вещественный, то ему соответствует m различных решений, которые можно записать в виде экспоненты, умноженной на полином
Exp(zk*x)*[C1+C2*x+…+Cm*x^(m-1)]
Здесь C1,C2,…,Cm - константы
б) если корень zk=ak+i*bk – комплексный. Если исходное уравнение является уравнением с действительными коэффициентами, то кроме m корней zk существует и m корней (zk)*=ak-i*bk. Тогда решением будет такая конструкция
Exp(ak*x)*[G1*Sin(bk*x)+G2*Cos(bk*x)]*[C1+C2*x+…+Cm*x^(m-1)]

Теперь смотрим, что у нас есть. У нас одно решение x^2. Сразу видно, что это решение из обоймы кратного корня, кратность которого минимум 3. Синусов и косинусов здесь нет, значит это вещественный корень. Поскольку перед корнем нет экспоненты, то она равна единице, значит корень, соответствующий этому решению будет равен нулю.
Второй корень x*sin(2x). Видно, что его кратность как минимум 2. Причем ясно, что он комплексный. Так как экспоненты нет, то вещественная часть его равна 0, а мнимая равна 2, т. е. корень равен 2i. Если уравнение с действительными коэффициентами, то должно быть столько же сопряженных ему корней, т. е. (-2i). Итак, составляем наше характеристическое уравнение по теореме Виета.
(z-0)^3*(z-2i)^2(z+2i)^2=z^7+8z^5+16z^3
Теперь легко восстановить необходимое дифф. уравнение.