Почему интегральное уравнение внутренней задачи Неймана разрешимо не при любой правой части ?

Ну, строгое математическое обоснование пусть дают строгие математики :)
А на "физическом уровне строгости", необходимое условие существования решения для внутренней задачи Неймана вытекает из закона сохранения.
Сохранения чего? Ну, вот у вас есть, к примеру, уравнение Лапласа для какой-нибудь функции u(M), где М - точка в пространстве с координатами x, y, z. И заданы краевые условия в виде условий Неймана.
div ( grad u ) = 0 внутри области
grad u = F(S), где S - поверхность, ограничивающая объём области.
Необходимое условие существования решения - это когда интегральный поток вектора grad u через замкнутую поверхность S равен нулю.
С физической точки зрения - это в общем и целом очевидный факт. Чтобы проиллюстрировать этот факт, я запишу так называемую обобщённую форму дифференциального уравнения сохранения величины u (причём, величина u тут - удельная, на 1 кг) :
d(R*u)/dt + div( J ) = P,
где R - плотность вещества, t - время, P - объёмная плотность источника, J - вектор плотности потока. Для простоты не буду учитывать конвективный перенос, а обойдусь молекулярным переносом. Тогда J может быть выражен по градиентной модели:
J = - L * grad u.
Ну вот, собственно говоря. Если проинтегрировать обобщённое уравнение по объёму V, ограниченному замкнутой поверхностью S, получим:
M * d(Uср) /dt = - Jср * S + Pср * V, (1)
где М - это масса в объёме V (интеграл от R по объёму) , Uср - это среднее от u по объёму (интеграл от R*u по объёму и поделить на M), Jср - это средняя по поверхности S плотность потока (интеграл по S от скалярного произведения J*dS, делённый на S), а Pср - среднеобъёмный источник.
А теперь перейдём к задаче Неймана для уравнения Лапласа. Применительно к уравнению (1) это означает, что рассматривается, во-первых, стационарный процесс (производная по времени равна нулю) , а во-вторых, внутренние источники отсутствуют. Тогда получим то самое необходимое условие разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа:
Jср * S = 0.
А вот - для уравнения Пуассона:
Jср * S = Pср * V.
Вот это - физический уровень строгости. А как там будет математически - это нужно крутить-вертеть через функции Грина и прочие штучки, наверное :)