Составить уравнение для задачи

Обозначим собственную скорость лодки через х. Тогда скорость лодки по течению равна x + v, а против течения - x - v. Общее время лодки в пути равно a / (x + v) + a / (x - v). По условию оно меньше t, значит имеем неравенство:

a / (x + v) + a / (x - v) < t,

которое нужно решить относительно x, чтобы найти скорость лодки. Согласно вопросу, нас просят составить уравнение. Но уравнение составить здесь не получается, а только неравенство. Фактически оно составлено.

Чтобы его решить, нужно избавиться от дробей, для чего нужно умножить неравенство на наименьший общий знаменатель, который равен (x + v)(x - v). Знак неравенства при этом сохранится, так как по смыслу задачи x > v, и этот знаменатель положителен. Получаем тогда такое неравенство:

a(x - v) + a(x + v) < t(x + v)(x - v)
ax - av + ax + av < (x² - v²)t
x²t - 2ax - v²t > 0

По следствию из теоремы Виета, поскольку свободный коэффициент квадратного трёхчлена в левой части отрицателен, то сам квадратный трёхчлен имеет корни разных знаков, при этом свои положительные значения он принимает вне отрезка между корнями, т. е. при x, меньших отрицательного корня и при х, больших, положительного корня. По смыслу нас устраивают те х, которые больше положительного корня. Значит, осталось найти только положительный корень x₀, и тогда ответ будет x > x₀. Для этого воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения с чётным коэффициентом:

x₀ = (a + √(a² + v²t²)) / t

(взятая с противоположным знаком половина коэффициента при х плюс квадратный корень из суммы квадрата этой же половины и произведения старшего и свободного коэффициентов, и всё это делённое на старший коэффициент).

Отсюда x > (a + √(a² + v²t²)) / t

Как видно, и здесь ответ получился в виде неравенства.

Допустим, из А в В лодка плыла ПО течению реки. Тогда она должна плыть со скоростью большей, чем а/t. Скорость реки равна v, а значит, собственная скорость лодки должна быть больше, чем (a/t) - v. (Минус, потому что река в данном случае "помогает" плыть). А вот обратно из В в А, ПРОТИВ течения, река будет "мешать" плыть, значит, скорость лодки должна быть больше, чем (a/t) +v. Время ПО течению будет равно T1 = a / (a/t -v), ПРОТИВ течения T2 = a / (a/t +v). По условию, T1+T2 < t,
a / (a/t - v) + a / (a/t + v) = (a*(a/t - v) + a*(a/t - v)) / (a^2/t^2 - v^2) = 2*a^2/t / (a^2/t^2 - v^2) < t, то есть получаем неравенство: 2*a^2 / (a^2/t - v^2*t) < t.

Проверьте меня, я шизику давно не решала)