Как можно решить уравнение в натуральных числах?

Первое, что пришло в голову - замена:
x = u + v
y = u - v
(Очевидно, что u, v - целые или полуцелые, чтобы x, y были хотя бы целыми)
Тогда уравнение примет вид:
(u-1)^2 + 3 v^2 = 1
Элементарно решается в целых и полуцелых числах:
1)
u = 0
v = 0
2)
u = 2
v = 0
3)
u = 1/2
v = -1/2
4)
u = 3/2
v = - 1/2
5)
u = 1/2
v = 1/2
6)
u = 3/2
v = 1/2
Для каждого решения (u,v) получаете свои x, y. Выбираете среди них натуральные, записываете в ответ)

Решение диофантовых уравнений см., например, на сайте
https://multiurok.ru/files/ieg-s6-nielinieinyie-diofantovy-uravnieniia.html
3. Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной (пример 2 немного похож)

Уравнение симметрично по x-y.
Отдельно рассмотрим x=y получим x=y=2 решение.
Теперь рассмотрим x<y, y=x+z, z тоже натуральное.
Подставим.
Оценим диапазон возможных значений. (левая часть не меньше правой)
Короче, получим пару (1,2) и других натуральных решений нет.

1) Решаем относительно у:
у (х+1)/2+-корень (6х-3х^2+1)/2 (1)
2) Ясно, что д. б.: 6х-3х^2+1 > 0 (2)
Учитывая, что 2корень (3)/3 ~ 1,155, нерав-во (2) приводим к виду:
(х-2,155)(х+0,155) < 0 (3)
3) Решение нерав-ва даёт: -0,155 < х < 2,155 (4)
Поскольку х натуральное, то (4) приобретает вид: 0 < х <= 2 (5)
Т. е. х может иметь лишь значения 1 и 2.
4) Поставляя последовательно эти значения х, находим всего три ответа: (1;2), (2;1) и (2;2).